PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

10.1. CG nin İndirgenmez Altmodülleri 97
Tan ım 10.1.4 V bir CG-modül, U indirgenmez bir CG-modül ve V; U
ya izomorf olan bir CG-altmodüle sahip ise, bu durumda U ya V nin bir
kompozisyon faktörü denir.
Tan ım 10.1.5 Eğer bir indirgenmez CG-modül V ve W CG-modülleri için
bir kompozisyon faktörü ise, V ve W ya bir ortak kompozisyon faktörüne
sahiptir denir.
Şimdi her indirgenmez CG-modülün, regiiler CG-modülün bir kompozisyon
faktörü oldu ğunu göstereceğiz.
Teorem 10.1.6 CG regüler
rekt toplam ı, yani
indirgenmez CG-altmodüllerin di-
CG Uı
... Ur
ise, bu durumda her indirgenmez CG-modül, 1 < i < r için Ui indirgenmez
CG-altmodüllerinden birisine izomorftur.
Ispat W indirgenmez bir CG-modül ve 0 w E W olsun.
{rw : r E CG}
altuzay ı W nin bir CG-altmodülüdür. W indirgenmez oldu ğundan
olur. Eğer
W {rw : r E cG}
: CG W
r rw
ise, bu durumda 0 bir lineer dönü şüm ve I 7710 = W dur. Ayr ıca r, s E CG
için
0(rs) = (rs)w = r(sw) = r0(s)
olduğundan O bir CG-homomorfizmad ır.
Onerme 10.1.1 gere ğince CG nin
CG = U ED K er0 ve U ImB
olacak şekilde bir U CG-altmodülü vard ır. W indirgenmez oldu ğ undan U da
indirgenmezdir. Onerme 10.1.2 den 1 < i < r için U = Uı dir. Bu durumda
W Ui olur ki, bu da ispat ı tamamlar.
■