PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

11.1. CG-Homomorfizmalar ın Uzay ı 107
Teorem 11.1.8 CG;
CG =
e • • • €1) Ur
şeklinde indirgenmez CG-altmodüllerinin bir direkt toplam ı olsun. Eğer U
herhangi bir indirgenmez CG-modül ise, bu durumda Ui = U olan CGaltmodüllerin
say ıs ı dimU ya e şittir.
İspat Önerme 11.1.7 gere ğince
dimU = dim(H omeG((CG U))
ve Sonuç 11.1.5 den bu e şitlik; Uz U olan Ui lerin say ıs ına e şittir. ■
Örnek 11.1.9 G = D3 için Örnek 10.1.9 dan CG = Ui e U2 e U3 e U4,
Uı ve U2 nin birbirine izomorf olmad ığın ı ve U3 ve U4 ün izomorf olduğunu
hat ırlayal ım. Bunu Teorem 11.1.8 e uyarlayacak olursak,
dimUi = 1 olduğundan Ui; CG de 1 defa gözükür.
dimU2 = 1 olduğundan U2; CG de 1 defa gözükür.
dimU3 = 2 olduğundan U3; CG de 2 defa gözükür.
Tan ım 11.1.10 Eğer her indirgenmez CG-modül, herhangi ık ıs ı ızomorf
olmayan Vi, Vk indirgenmez CG-modüllerinden birisine izomorf ise,
...,V1,} cümlesine indirgenmez CG-modüllerin bir tam eümlesi adı verilir.
Bu bölümü Teorem 11.1.8 in önemli bir sonucu olan bütün indirgenmez
CG-modüllerin boyutlar ı ile grubun eleman say ısı aras ında önemli bir ili şkiyi
vererek bitiriyoruz.
Teorem 11.1.11 {Vb ..., Vk} izomorfik olmayan indirgenmez CG-modüllerin
bir tam cilmlesi olsun. Bu durumda
dir.
k
E(di'mVi) 2 =I G
i=1
İspat CG = Ui e ... e G indirgenmez CG-altmodüllerin direkt toplam ı ve
1 < i < k için di = dimVi olsun. Teorem 11.1.8 den her bir i için (ii
olan CG-altmodüllerin say ısı di ye e şittir. Bu sebeple