PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

12.2. Eşlenik S ınıflarm ın Eleman Say ıs ı 113
Şimdi sonlu bir grubun e şlenik s ın ıflar ının belirlenmesinde kullan ışlı bir
önerme verelim.
Onerme 12.1.8 x, y E G olsun. Eğer x ile y; G de eşlenik ise, bu durumda
her n tamsayıs ı için xn ile yn e şleniktir.Ayr ıca x ile y nin mertebesi ayn ıdır.
Ispat Her a, b E G için gaby -1 = (gag')(gbg-1 ) dir. Böylece
gx ng- ı = (gxg- ı \n ) dir. x ile y G de e şlenik olsun. Bu durumda y = gxg -1
olacak şekilde g E G vardır. Buradan yn = gxng -1 olup xn ile yr' G de
eşleniktir. x in mertebesi m olsun. Bu durumda yrn = gxmg -1 = 1 ve
< r < m için yr = gxrg -1 1 olduğundan y nin mertebesi m dir. ■
12.2 Eşlenik S ınıflar ın ın Eleman Say ıs ı
Tan ım 12.2.1 x E G olsun. x in G deki merkezleyeni G deki x ile değişmeli
olan tüm elemanlardan olu şur ve CG(x) ile gösterilir. Yani,
şeklindedir.
CG(x) = {g E G : xg = gx} = {g E G : gxg -1 = x}
CG(x) in G nin bir altgrubu olduğu kolayca gösterilebilir. x E CG(x)
olduğundan her x E G için < x >C CG(x) dir.
Şimdi vereceğimiz teorem, merkezleyen yard ımıyla G nin e şlenik s ımflar ındaki
eleman say ılarını belirler.
Teorem 12.2.2 x E G olsun. Bu durumda, xG e şlenik s ınıfındaki eleman
say ıs ı,
d ır. Özel olarak I x G I; I G I yi böler.
Ispat g,h E G olmak üzere
I X G [G : CG(x)] =I G I CG(x) I
gxg-ı hah-1 > h-ı gx = xh-1 g
y E CG(x)
gCG(x) = hCG(x)