PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

11.1. CG-Homomorfizmalar ın Uzay ı 103
Ispat
(i) w ı E W1,w2 E W2 için,
ve
iri : W2 Wi
(w ı + w2) ir ı (w ı w2) = w ı
7r2 e W2 -4 W2
(W1 + W2) 7r2(W1 + W2) = W2
fonksiyonlar ını gözönüne alalım. Önerme 7.3.1 den ir i ve ir 2 CGhomomorfizmalard
ır. Eğer O E HomeG(V,W ı ED W2 ) ise, bu durumda
7r ı O E HomcG(V, Wı ) ve ır2 O E HomcG(V, W2) dir.
Şimdi O E H omeG(V,W İ EB İ W2) için H omeG(V, w2 ) den HomeG(V, Wı )
ve H omcG(V, W2) nin dış direkt toplam ına tan ımlanan bir fonksiyon
f : (z ı O, R- 2 0)
şeklinde ise, bu durumda f bir lineer dönü şümdür. Şimdi f nin tersinir
olduğunu gösterelim. 1 < i < 2 için
E H omcG(V, Wi) olmak üzere fonksiyonu;
: v ---> 01(v) -F 02(v) (v E V)
ise, ç E HomcG(V, W ı ED W2) ve f (0) = (7r10,7r20) = (Oh 952) dir.
Böylece f örtendir.
Eğer O E K er f ise, bu durumda her v E V için (7r 1 0)(v) = 0 ve
(z20)(v) = 0 d ır. Böylece O(v) = ((ir i 7r2)0)(v) = 0 olup, O = 0 ve
dolayısıyla K er f = {0} dır. Yani f birebirdir.
Böylece HomcG(V, Wı El) W2) den HomeG(V, Wı ) e HomcG(V, W2 ) ye
tersinir bir lineer dönü şüm kurmu ş olduk. Sonuç olarak bu iki vektör
uzayının boyutlar ı aynıdır.
(ii) O E HomcG(VI E9 172, W) için 1 < i < 2 ve vi e V, olmak üzere O n ın Vi
ye k ıs ıtlamas ı olan