PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

1.2. , Altgruplar 3
Örnek 1.1.4 Bir n pozitif tamsay ıs ı için {1,2, ... , n} cümlesinin bütün
permütasyonlar ı, fonksiyonlardaki bile şke i şlemine göre bir gruptur. Bu
gruba simetrik grup denir ve S,„, ile gösterilir. 5„ simetrik grubunun eleman
say ıs ı n! dir.
Örnek 1.1.5 F cismi, R veya C olmak üzere, bile şenleri F den al ınan n x n
tipindeki tersinir matrislerin cümlesi, matris çarp ımına göre bir gruptur. Bu
gruba F üzerinde genel lineer grup denir ve GL(n, F) ile gösterilir. GL(n, F)
sonsuz elemanl ı bir gruptur. Bu grubun birim eleman ı birim matristir ve /-„,
veya / ile gösterilir.
Eğer her g, h E G için gh = hg ise, G ye değişmeli grup denir. Yukar ıdaki
örneklerde C, ve Z deği şmeli iken diğer örneklerdeki gruplar de ğişmeli değildir.
1.2 Altgruplar
Tan ım 1.2.1 G bir grup olsun. OHCG için H; G deki işleme göre bir
grup ise, H ya G nin altgrubu denir ve H < G şeklinde gösterilir.
H C G için kolayca gösterilebilir ki,
H < G< > V h, k E H için hk-1 e H ise.
Örnek 1.2.2 Her G grubu için {1} ve G; G nin altgruplar ıd ır.
Örnek 1.2.3 G bir grup ve g E G olsun.
< g >-= {gn : n E Z}
altcümlesi G nin altgrubudur. Bu altgruba g tarafından üretilen devirli
altgrup ad ı verilir.
Eğer bir n > 1 tamsay ıs ı için gn = 1 ise, < g > sonludur. Bu durumda
= 1 olacak şekilde bir en küçük pozitif r tamsay ısı vard ır. Bu r say ıs ı
< g > nin eleman say ısına eşittir. Bu durumda,
< g {1 , "2 gr .- 1}
şeklindedir.
Eğer bir g E G için G =< g > ise G ye devirli grup denir. Örne ğin Cn
ve 71 devirlidir.