PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

8.1. Maschke Teoremi 77
fonksiyonunu G nin bir gösterimidir. V = Sp{v i , v2} her 0 < j < p — 1 için
a3 vi = v ı
aiv2 = jv ı + v2
etkisiyle bir FG-modüldür. Aç ık olarak U = Sp{vi}; V nin FG-altmodülüdür.
Fakat V = U ED W olacak şekilde bir W FG-altmodülü bulunamaz.
Örnek 8.1.3 G = S3 ve V = S p{v i , v2 , v3}; F üzerinde bir permütasyon
modülü olsun. u = vi + v2 v3 olmak üzere U = Sp{u} olarak seçelim. Bu
durumda her g E G için gu = u olduğundan U; V nin bir FG-altmodülüdür.
V = U ED W olacak şekilde birçok W altuzay ı bulunabilir. Örneğin
Sp{v2 , v3 }, Sp{v i , v2} ve Sp{v i , v2 — v3 } bu şart ı sağlayan altuzaylard ır.
Şimdi Wo = Sp{v i , v2} olarak seçelim. Kolayca gösterilbilir ki Wo bir FGaltmodül
değildir. U üzerinde bir cP projeksiyonu
--> 0
v 2 0
V3 --->
+ V2 + V3
olarak gözönüne al ınırsa (8.1) deki gibi bir FG-homomorfizma;
şeklindedir. Aranan W FG-altmodülü;
: v, --> (vi 1- v2 + v3) , = 1,2,3)
3
W = K er6+ = W = {Z Aivi : = O}
= {vi — v2, v2 V3}
şeklindedir.
Eğer V nin bir B baz ı {vi v2 + v3, vi, v2} ise, bu durumda her g E G
için [g]i3 matrisi;
■ ■ ■
[g]k3 = O ■ ■
O ■ ■
formundad ır. [g]B matrisindeki s ıfırlar U nun V nin FG-altmodülü olduğunu
göstermektedir. Eğer B' baz ı olarak {vi + v2 + v3 , vi — v2 , v2 — v3} ahmrsa
matrisi