PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

7.3. Direkt Toplamlar 71
V = U eı W
olsun. Bi = {u ı, , um }; U nun B2 =
Wrd W nin bazlar ı olsunlar.
Bu durumda Sonuç 2.4.4 den B = {u i , . • • , um w ı , • • • , wn} ; V nin bir baz ıd ır
ve her g E G için
Egl B
Eg B ( 0
0
[ g 1 B2
şeklindedir.
Genel olarak, 1 < i < r için Ui ler FG-altmodüller olmak üzere e ğer
V = ED G ve Bi; Ui nin baz ı ise, bu durumda Bi, , B, bazlar ından
V nin bir B baz ını elde ederiz ve g E G için
Egb3 =
[g]131
O
şeklindedir.
A şağıdaki sonuç bize direkt toplamlar yard ımıyla bir FG-homomorfizmanın
nas ıl olu şturulacağın ı göstermektedir.
Önerme 7.3.1 V bir FG-modül olsun. 1 < i < r için Ui ler V nin FGaltmodülleri
olmak üzere V = Ui 6 ED U. olsun. Bu durumda her v E V
ve ui E Ui için v = 211 . u, yaz ılım ı tek türlüdür. Ayr ıca 1 < i < r için
iri : V --> V
V --> Vi
ise, ıri bir FG-homomorfizma ve V nin bir projeksiyonudur.
İspat Açık olarak ıri bir lineer dönü şüm ve her ui E Ui, her g E G ve her
v = ui 4- ... ur E V için
ıri(gv) = r(gu ı
... gur) = gui = g ıri(v)
olduğundan ri bir FG-homomorfizmad ır. Ayrıca,
ır,(v) =
olduğundan ıri; V nin bir projeksiyonudur.
= ui = ri(v)
■