PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

72 Bölüm 7. FG-Homomorfizmalar
Şimdi indirgenmez FG-modüllerin direkt toplam ını olu şturmaya ili şkin
bir teknik verece ğiz.
Onerme 7.3.2 V bir FG-modül ve 1 < i < r için Ui; V nin indirgenmez
FG-altmodülleri olmak üzere
olsun. Bu durumda V; baz ı
V = + • • • + Ur
FG-altmodüllerin direkt toplam ıdır.
Ispat Şimdi indirgenmez U ı , ..., U, FG-altmodiillerinden direkt toplam
olan maksimum say ıda Uir leri seçmeye çalışacağız.
Bunun için
U,.} nin
(i) Wı + • .. Ws direkt (yani Wı ... Ws )
(ii) Eğer Ui E Y ise Wı + . • • + Ws Ui direkt olmas ın.
şartlar ın ı sağlayan Y = {Wı , Ws } altcümlesini gözönüne alal ım.
W = Wı + + Ws olsun. Her 1 < i < r için U,s C W olduğunu
gösterelim. Eğer Ui E Y ise Uz c W dir.
Ui E Y olsun. Bu durumda W + Ui direkt de ğildir. Yani W fl {O}
dır. Fakat W fl ; ui nin FG-altmodülü ve Ui indirgenmez oldu ğundan
W n ui ve Ui C W olur.
Her 1 < i < r için C W oldu ğundan
elde edilir.
v = w = w, ... e 147,
Eğer Vı , • • • , Vr FG-modüller ise Vı El) ... Vr dış direkt toplam ını, her
vi E V, g E G için
■
g(vl , • • ,vr)
çarp ımıyla FG-modül yapabiliriz.
(gv ı , . • .,gvr)
7. Bölümün Özeti
(i) Eğer V ve W; FG-modül ve g E G, v E V için B : V ---> W
0(gv) = ge(v),
şart ını sağlayan bir lineer dönü şüm ise O bir FG-homomorfizmad ır.