PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

28 Bölüm 2. Vektör Uzaylar ı ve Lineer Dön üşümler
Şimdi Önerme 2.12.1 den faydalanarak, bir projeksiyon yard ım ıyla bir
vektör uzay ının, altuzaylar ının bir direkt toplam ı olarak yaz ılabilece ğini göreceğiz.
Onerme 2.12.4 Eğer ir; V nin bir projeksiyonu ise, bu durumda
dir.
V = Im ır el) Ker ır
Ispat Eğer v E V ise v = r(v) (v — r(v)) yazabiliriz. Aç ık olarak
7r(v) E Imir dir.
7r(v — 7r(v)) = 7r(v) — ır 2 (v) = 7r(v) — ır(v)= 0
olduğundan v — ır(v) E Ker ır dir. Buradan V = Ker ır olur.
Şimdi v E Im ır fl Ker ır olsun. v E Im ır ise ır(u) = v olacak şekilde bir
u E V vard ır.
ve v E Ker ır olduğundan
ır(v) = ır 2 (u) = ır(u) = v
ır(v) = 0
dır. Böylece v = 0 olup Im ır fl Ker ır = 0 dır. Sonuç 2.4.4 den
V = Im ır (1) Ker ır olur.
••
Ornek 2.12.5 Eğer 7r : (x, y)
ise, bu durumda
(2x +2y, —x—y); R 2 nin bir projeksiyonu
şeklindedir.
Im ır = {(2x,—x): x E R}
K er 7r = {(X —x) : X E R}