PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

9.4. Schur Lemmas ın ın Uygulamaları 89
Z((CG); CG nin altuzay ıd ır. G deği şmeli ise, bu durumda Z(CG) = G
dir. Keyfi bir G grubunda Z((CG) nin G nin gösterimleri için önemli bir yere
sahip olduğunu göreceğiz. Örneğin, Z(CG) nin C üzerindeki boyutu G nin
indirgenmez gösterimlerinin say ısına e şittir.
Örnek 9.4.2 1, g E Z(CG) dir. Gerçekten, H; G nin herhangi bir
gEG
normal altgrubu ise, bu durumda
dir. Gerçekten z =
L h E Z(CG)
hEH
h ise, bu durumda her g E G için
hEH
gzg - = L ghg-1 = h = z
hEH hEH
dir ve böylece zg = gz olur. Sonuç olarak her r E CG için zr = rz dir.
Örneğin, eğer G = D3 =< a, b : a3 = b 2 = 1, b-lab = a-1 > ise {1},
< a > ve G; G nin normal altgruplar ıdır. Ayrıca
1, 1+ a a 2 , 1+ a + a 2 + b+ ab+ a2 b
Z((CG) dedin. Son bölümde bu elemanlar ın Z(CG) nin haz ım olu şturduğunu
görece ğiz.
Şimdi Schur Lemmas ını Z(CG) nin elemanlar ının önemli bir özelli ğini
belirlemek için kullanaca ğız.
Onerme 9.4.3 V indirgenmez bir CG-modül ve z E Z((CG) olsun. Bu
durumda her v E V için
olacak şekilde bir E (C vard ır.
Ispat r E CG ve v e V için
zv = Av
zrv = TZV
ve bundan dolay ı v --» zv; V den V ye tan ımlanan bir CG-homomorfizmad ır.
Schur Lemmas ı gere ğince bu CG-homomorfizma A E C olmak üzere Alv
şeklindedir.
■