PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

48 Bölüm 4. FG-Modüller
olarak elde edilir.
Tan ım 4.2.2 G; Sn in bir altgrubu ve V; {v i , ..., v„} baz ı ile birlikte bir
FG-modül olsun. Her i ve her g E G için
gvi = vs(i)
ise, V ye permütasyon modülü ve {vi , ..., v7,} ye V nin doğal bazı denir.
Eğer V; B = {v i , ... ,vn } baz ı ile birlikte bir permütasyon modülü ise,
her g E G için [g]3 matrisi her sat ır ve sütununda bir tane 1, di ğer bile şenleri
0 olan bir matristir. Bu matrise permütasyon matrisi adı verilir.
Her vi vektörünü sabit b ırakan yegane g eleman G ııin birimi olduğundan
permütasyon modülü faithfuldur.
Cayley Teoreminden n yinci mertebeden her G grubu Sn nin bir alt
grubuna izomorf oldu ğundan G n-boyutlu faithful bir FG-modüle sahiptir.
Örnek 4.2.3 G = C3 =< a : a3 = 1 > olsun. Kolayca gösterilebilir ki G; S3
ün (123) tarafından üretilen altgrubuna izomorftur. V = Sp{v i , v2, v3};
3-boyutlu bir vektör uzay ı olsun. Bu durumda V
lvi = vı avi = v2, av ı = v3
,
2 = v2, av2 = V3, a 2 V2 = v1 1v
1v3 = V3, av3 = vi, a 2 v3 = v 2
etkisiyle bir FG-modüldür. G nin etkisi V nin tümüne lineer olarak geni şletildiğinde;
v E V ve Al , A2, E F için;
gv = g(A ı vı + A2v2 + A3v3) = > ı (gv ı ) + A2(9v2) + 4(.9v3)
olduğundan V; bir FG-modüldür.
4.3 FG-Modüller ve Denk Gösterimler
FG-modüller ile G nin denk gösterimleri aras ındaki ili şkiyi vererek bu bölümü
t amamlay ıyoruz .
Bir FG-modüle g [g],E3 formunda bir çok gösterim kar şılık gelir.
A şağıdaki sonuç bu şekildeki gösterimlerin denk olduğunu göstermektedir.
Teorem 4.3.1 V; B baz ı ile birlikte bir FG-modül ve p : g
bir gösterimi olsun.
[g]B , G nin