PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

1.3., Direkt Çarpımlar 5
1.3 Direkt Çarp ımlar
Bu kısımda verilen gruplardan yeni bir grup in şa etme yöntemi verece ğiz.
G ve H iki grup olsun.
GxH= {(g,h):gEGvehEH)
cümlesini gözönüne alalım. g,g' E G ve h,h' E H için, G x H cümlesi
üzerinde
(gg', hh')
şeklinde tan ımlanan çarpma i şlemi ile G x H bir grup olur. Bu gruba G ile
H nın direkt çarpım grubu ad ını veriyoruz.
Genel olarak; G İ , , G, gruplar ı için G İ x x G, direkt çarp ımı
Gi X . X Gr {(gl > • • • gr) gi E Gi, 1 < i < r}
şeklindedir. Eğer bütün Gi gruplar ı sonlu ise G İ x ...x G, sonlu ve mertebesi
I G İ I ... I G„ l dir.
Örnek 1.3.1 C2 = {±1} olmak üzere C2 x ... x C2 (r-tane) grubunun
mertebesi 2' ve birim eleman d ışındaki elemanların mertebesi ise 2 dir.
1.4 Homomorfizmalar
Tan ım 1.4.1 G ve H iki grup olsun. E ğer G den H ya tan ımlanan bir O
fonksiyonu; her gi ,g2 E G için
0(gi g 2 ) = 0(gi )0(g2 )
ko şulunu sağlıyorsa O ya homomorfizma ad ı verilir.
Tersinir bir homomorfizmaya izomorfizma denir. G den H ya bir
izomorfizmas ı varsa G ve H ya izomorfiktirler denir ve G H şeklinde
gösterilir. G den H ya tan ımlanan bir O izomorfizmas ının tersi de bir izomorfizmad
ır.
Örnek 1.4.2 G = Dr, =< a,,b : an = b2 = 1,b- ıab = cı-1 > dihedral
grubunu gözönüne alal ım. H herhangi bir grup ve x, y E H için
n 2 -1 -1
X = y = , y xy = x