PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

76 Bölüm 8. Maschke Teoremi
yardımıyla V den V ye görüntü cümlesi U olacak şekilde bir FGhomomorfizma
tan ımlayacağız. Eğer
0 : V --> V
v ---> 0(v) =
1
G (8. 1)
olarak tammlamrsa, bu durumda 0; V nin bir endomorfizmas ı ve /m0 C U
dur.
Şimdi 0 n ın bir FG-homomorfizma oldu ğunu gösterelim. v E V ve x E G
için;
0(xv) = ı G G ,g0(g-I (xv))
g ler G yi tararken h -1 = g- ı x de G yi tarar. Bu durumda
0(xv) = G1 E xho(h- ı(v)). x
ı hEG hEG
ho(h-iv). xo(v)
olur. Böylece 0 bir FG-homomorfizmad ır.
Şimdi 0 2 = 0 olduğunu gösterelim. Öncelikle, u E U, g -1 E G için
g- lu E U ve 0(g-lu) = g-l u dur. Bu durumda,
E
e(u) G 9,0(g-Lıt), gg -1 u = u = u (8.2)
İ
G I gEG
olup, v E V için 0(v) E U dur. Bu durumda 0(0(v)) = 0(v) oldu ğundan
bir projeksiyondur.
Sonuç olarak bir 0 : V --> V projeksiyonu ve FG- homomorfizmas ını
olu şturmu ş olduk. Ayrıca (8.2) den Irn8 = U dur. W = Kere olsun. Bu
durumda W; V nin FG-altmodülü (Onerme 7.1.2) ve V = U e W (Onerme
2.12.4) olur. Bu da ispat ı tamamlar. ■
Örnek 8.1.2 Eğer F = R veya C olarak seçilmezse Maschke Teoremi hatal ı
sonuç verebilir. Örne ğin p bir asal say ı , G = Cp =< a: aP =1> ve F = Zp
olsun. j = 0,1, ... ,p - 1 için
G
gEG
a -->
(1 j
0 1