PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

90 Bölüm 9. Schur Lemmas ı
Tan ım 9.4.4 Z(G) = {z E G : zg = gz, her g E G için} cümlesine G
grubunun merkezi denir.
Z(G); G nin bir normal altgrubudur ve Z(CG) nin de bir altciimlesidir.
CG nin merkezindeki baz ı elemanlar ayn ı zamanda G nin de merkezindedir.
Onerme 6.2.2 den her G sonlu grubu için bir faithful CG-modül vard ır.
Bu CG-modülün indirgenmez CG-modül olmas ı gerekmez. Gerçekten a şağıdaki
sonuç G nin indirgenmez faithful CG-modüllerine önemli bir k ısıtlama
getirmektedir.
Önerme 9.4.5 Eğer indirgenmez bir faithful CG-modül varsa, bu durumda
Z(G) devirlidir.
ispat V indirgenmez bir faithful CG-modül olsun. E ğer z E Z(G) ise, bu
durumda z E Z(CG) ve Onerme 9.4.3 den her v E V için
zv = Az v
olacak şekilde bir A z E C vard ır. V faithful olduğundan z E Z(G) için
z
fonksiyonu, Z(G) den C* a tan ımlanan birebir bir homomorfizmad ır. Bundan
dolayı Z(G) -:.'z' {A z E C:z E Z(G)} dir. C* ın sonlu her altgrubu devirli
olduğundan Z(G) de devirlidir.
■
Önerme 9.4.5 in kar şıtı her zaman do ğru olmayabilir. Yani Z(G) devirli
olacak şekilde bir G grubu verildi ğinde, bir indirgenmez faithful CG-modiil
bulmak her zaman mümkün de ğildir.
Örnek 9.4.6 Eğer G değişmeli bir grup ise G = Z(G) ve Önerme 9.4.5
den G devirli verilmedikçe indirgenmez bir faithful CG-modül bulunamaz.
Örneğin, C2 x C2 indirgenmez faithful bir gösterime sahip de ğildir.
Değişmeli olmayan gruplar ın indirgenmez gösterimlerini in şa etmek değişmeli
gruplar ınkine oranla daha zordur. De ği şmeli gruplar ın bütün indirgenmez
gösterimlerinin derecelerinin 1 oldu ğunu Onerme 9.2.1 de göstermi ştik.
Şimdi bu önermenin kar şıtının da doğru olduğunu gösterelim.
Onerme 9.4.7 G her indirgenmez CG-modülünün boyutu 1 olan sonlu bir
grup olsun. Bu durumda G değişmelidir.
Az