PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

106 Bölüm 11. İzomorfizmalar ve Grup Cebirleri
Ispat dimU = k olsun. U nun bir {u i, , uk} baz ını seçelim. r E CG
olmak üzere 1 < i < k için
: CG ---> U
r —÷ Oi(r) = rui
fonksiyonunu gözönüne alal ım. Bu durumda her r, s E CG için
cki(rs) = (rs)ui = r(sui) -= rOi(s)
olduğundan, Oi E HomeG(CG, U) dur.
Şimdi {01 , , Ok} cümlesinin H omeG((CG , U) nun baz ı olduğunu gösterece ğiz.
E HomeG(CG, U) olsun. Bu durumda 1 < i < k olmak üzere Ai E C
için
0(1) = Alu, + ...+ AkUk
olur. ¢ bir CG-homomorfizma oldu ğundan, her r E CG için
0(r)
0(r1)
r0(1)
= rAluı ...+ rAkuk
=ru ı -I- • . . -F Akruk
A101 (r) + • • • + AkOk(r)
Ng51. + • • • + AkOk)(r)
elde edilir. Buradan çb = Ai (bi ...4- AkOk dir. Bundan dolay ı {01, . • • , 4};
H omcG(CG,U) uzay ını gerer.
Şimdi 1 < i < k olmak üzere Ai E C için
olsun. Bu durumda
A101 + • • • + AkOk
O
(A101 + • • • + AkOk)( 1 )
= Alu ı + • • • + AkUk
ve {ui , , uk} lineer bağımsız olduğundan 1 < i < k için Ai = 0 d ır. Böylece
{01, • • . , çbk}; HomcG(CG, U) nun bir baz ıdır ve dolay ısıyla
dim(Hom cG(CG, U) = k dır.
■
Şimdi bu bölümün temel teoremini verece ğiz. Bu teorem bize bir indirgenmez
(CG-modülün, regüler EG-modülün ayr ışımında kaç defa gözüktüğünü
söylemektedir.