PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

46 Bölüm 4. FG-Modüller
(iv) gNv i ...+ >knVn) = A1(gV1)
)'n(gvn)
şartlarını sağlıyorsa, bu durumda V bir FG-modüldür.
Ispat (iii) ve (iv) den her v E V için 1v = v olur. (i) ve (iv) den her
g E G için v gv fonksiyonu V nin bir endomorfizmas ıd ır. Böylece her
u, v E V, g E G ve A E F için gv E V ve
g(Av) = A(gv)
g(u v) = gu gv
elde edilir. Bundan dolay ı her A l , ..., An E F,h E G, ui ,...,un E V için
h( th . • • + Anun ) = (kul) -F • • . An(hun) ( 4 . 1 )
dir.
Şimdi v E V, g, h E G alalım. Al, • An E F olmak üzere
v = ... A nv,,, olsun. Bu durumda;
(gh)v = (gh)(>ı v ı . • 4v,,)
= ı ((gh)v ı ) -F • .. 4((gh)v r,) ((iv) den)
Al(g(hv ı )) . . A n (g(hun)) ((ii) den)
g(Ai(hv ı ) 4- • • . An (hvn )) ((4.1) den)
g(hv)
olur. Böylece V, FG-modül aksiyomlar ım Sağlar.
Şimdi aşikar ve faithful gösterim tan ımlar ın ın modüllere uyarlanmas ı
olan a şağıdaki tan ımı verebiliriz.
Tan ım 4.1.8 V; F üzerinde 1-boyutlu bir vektör uzay ı ve her v E V, g E G
için gv = v şart ını sağlıyorsa, bu durumda V ye aşikar FG-modül denir.
Eğer her v E V için gv = v şart ım sağlayan yegane g elaman ı G nin birimi
ise, bu durumda V ye faithful FG-modül ad ı verilir.
Örnek 4.1.5 deki FD 4-rnodülü faithfuldur.
Şimdi Onerme 4.1.7 yard ımıyla simetrik gruplar ın bütün altgruplar ı için
faithful FG-modülleri in şa edeceğiz.