PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

68 Bölüm 7. FG-Homomorfiz ınalar
: V –k W bir FG-izomorfizma olsun. Bu durumda V ve W izomorfik
FG-modüllerinin cebirsel özellikleri ayn ıd ır. Böylece
(1) dimV = dimW .
,vnj; V nin bir baz ı {0(v ı ), , 0(v 7,)} W nin bir baz ı )
(2) V indirgenmez W indirgenmez.
(X; V nin FG-altmodülü < > 0(X); W nin FG-altmodülü)
(3) V bir a şikar FG-altmodül içerir < > W bir aşikar FG-altmod al içerir.
(X; V nin aşikar FG-altmodülü < > 0(X); W nin aşikar FG-altmodülü)
olur.
Şimdi izomorfik FG-modüllerin özelliklerini incelemeye devam edelim.
Izomorfik FG-modüllere kar şılık gelen gösterimlerin denk oldu ğunu göstermeden
önce bir önerme verelim.
Önerme 7.2.3 V ve W FG-modüllerinin izomorfik olmas ı için gerek ve
yeter şart her g E G için
[g]Bı = [9],52
olacak şekilde V nin B i ve W nin B2 bazlarının var olmas ıdır.
Ispat B : V --+ W bir FG-izomorfizma ve B i = {vi, , tın } V nin bir baz ı
olsun. Bu durumda B2 = {0(V ı ), O(V n)} de W nin bir baz ı olur. Ayrıca
g E G ve her 1 < i < n için O(gvi) = gO(vi) olduğundan [g]Bi = [g]B2 dir.
Tersine, her g E G için [g]Bi = [g]B2 olacak şekilde V nin
Bi = {vi, . , v n } baz ı ve W nin B2 = {Wi, Wn } baz ını gözönüne alal ım.
0; V den W ya her 1 < i < n için 0(vi) = wi şeklinde tan ımlanan tersinir
bir lineer dönü şüm olsun. [g]B, = [g]B2 olduğundan her 1 < i < n için
O(gvi) = gO(vi) olur. Böylece 0 bir FG-izomorfizmad ır.
■
Teorem 7.2.4 V ve W s ırasıyla B ve B' bazlarıyla FG-modüller olsunlar.
Bu durumda
V = W < > p : g ----> [g]3 ve ō g [g]B i gösterimleri denk ise.
İspat V ve W izomorfik FG-modüller olsun. Önerme 7.2.3 den her g E G
için [9]B İ = [g]B2 olacak şekilde V nin Bi ve W nin B2 bazları vardır.
p gösterimi Teorem 4.3.1.(i) gere ğince G nin