PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

66 Bölüm 7. FG-Homomorfizmalar
dir.
Aşağıdaki sonuç FG-altmodüllerin do ğal örneklerinin FG-homomorfizmalar
yard ımıyla elde edildi ğini göstermektedir.
Onerme 7.1.2 V ve W FG-modül ve 0 : V -- W bir FG-homomorfizma
olsun. Bu durumda Ker0; V nin ve ImO, W nin FG- altmodülüdür.
ispat Öncelikle 0 lineer dönü şüm oldu ğundan K er0; V nin, /mO; W nin
altuzaylar ıdır.
v E Ker.° ve g E G olsun. Bu durumda
9(gv) = gO(v) = g0 = 0
olduğundan gv E Ker0 d ır. Böylece Ker0; V nin FG-altmodülüdür.
w E /m0 olsun. Bu durumda w = 0(v) olacak şekilde bir v E V vard ır.
Her g E G için
gw = g9(v) = 9(gv) E /m0
olur ve böylece /m0; W nin FG-altmodülüdür.
■
Örnek 7.1.3 Eğer 0 : V W fonksiyonu her v E V için 0(v) = 0 ise, bu
durumda 9 bir FG-homomorfizma, Kel.° = V ve /m0 = {0} d ır.
Örnek 7.1.4 0 : V --> V fonksiyonu a E F ve v E V için 9(v) = Av olsun.
Bu durumda 0 bir FG-homomorfizmad ır. Ayrıca, 0 için Kere = {O},
/m0 = V dir.
Örnek 7.1.5 G; Sn in bir altgrubu, V = Sp{v ı , , v7,} permütasyon
modülü ve W = Sp{w} aşikar FG-modül olsun.
V den W ya tanımlanan 9; FG-homomorfizmas ını şöyle inşa edebiliriz:
O : n Ai) w, (Ai E F)
i=1 i=1
tan ımlayalım. Böylece her 1 < i < n için 0(vi) = w dir. Bu durumda 0 bir
lineer dönü şüm ve her v = E Aivi E V, g E G için
i= 1
ve
•rt
0(gv) = O (Aiv g ( i)) = (E Ai) w
i=1 i=ı