PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

Bölüm 8
Maschke Teoremi
Şimdi gösterim teorisinin ilk önemli sonucu olan Maschke Teoremini verece ğiz.
Bu teoremin bir önemli sonucu F = R veya C olmas ı durumunda (F nin
seçimi oldukça önemlidir) her FG-modülün indirgenmez FG-modüllerin direkt
toplam ı şeklinde yaz ılabilmesidir. Bu sebeple gösterim teorisi indirgenmez
FG-modüllerin incelenmesi üzerinde yo ğunla şmıştır.
8.1 Maschke Teoremi
Teorem 8.1.1 (Maschke Teoremi) G sonlu bir grup, F = R veya C ve V
bir FG-modül olsun. Eğer U; V nin bir FG-altrnodülü ise, bu durumda
V = U ED W
olacak şekilde V nin bir W FG-altmodülii vardır.
Ispat V nin bir U FG-altmodülünü gözönüne alalım. Bu durumda
V = U ED Wo olacak şekilde V nin herhangi bir Wo altuzay ını seçelim (Wo
ır. Fakat {vi , ver,,}; U nun bir baz ı olmak üzere bu
için birçok seçim vard
baz, V nin {vi , , vn, , vm+i , , un } baz ına tamamlayacak olursak
Wo = Sp{v m+i , , vn } şeklinde seçilebilir).
v E V için v = u w olacak şekilde u E U, w E Wo vektörleri tektir.
: V V
v .0(v) = u
V nin bir projeksi-
fonksiyonunu gözönüne alal ım. Önerme 2.12.1 den q5 ;
yonudur. Ayr ıca Kerçb = Wo , Imcb = U şeklindedir.
75