PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

98 Bölüm 10. indirgenmez Modüller ve Grup Cebirleri
Teorem 10.1.6 da bir G grubunun indirgenmez CG-modüllerinin say ısının
sonlu olduğunu ve her bir indirgenmez CG-modülün bu indirgenmez CGmodüllerden
birisine izomorf oldu ğunu gördük. Şimdi bunu aşağıdaki sonuçta
ifade edelim.
Sonuç 10.1.7 Eğer G sordu bir grup ise, bu durumda sadece sonlu sayıda
izomorfik olmayan indirgenmez CG-modül vard ır.
Teorem 10.1.6 gere ğince bir G grubu verildi ğinde tüm indirgenmez CGmodülleri
bulmak için regüler CG-modülü indirgenmez CG- modüllerin bir
direkt toplam ı olarak yazmak yeterli olacakt ır. Fakat, a şağıdaki örneklerden
de görülece ği gibi bu yöntem pratikte tüm indirgenmez CG-modülleri belirlemek
için çok kullan ışlı değildir.
Örnek 10.1.8 G = C3 =< a : a3 = 1 > ve w = e 2"ii3 olsun. vo, vi, v2 E CG
v0 = 1 + a + a 2
vi = 1 -F w 2a wa 2
V2 =
wa w 2 a2
olmak üzere i = 0,1,2 için Ui = Sp{vi} olsun. Bu durumda
olur. Benzer şekilde
avi = a 4- w 2 a 2 lw = wvi
avi = tv'vi (i = 0,1,2)
şeklindedir. Buradan i = 0,1,2 için (Ii CG nin CG-altmodülüdür.
{vo , vi , v2 } nin V = CG nin bir baz ı olduğu kolayca gösterilebilir. Bundan
dolay ı
cCG=UoeU ı
e U2
ve böylece CG; Ui indirgenmez CG-altmodüllerin direkt toplam ıdır.
Teorem 10.1.6 gere ğince her indirgenmez CG-modiil Uo , Ui veya U2 ye
izomorftur. O < i < 2 için (ii lere kar şılık gelen G nin indirgenmez
gösterimleri Örnek 9.2.4 de verilen p ipi lerdir.
Örnek 10.1.9 G = )33 =< a,b : a3 = b 2 = 1, b-l ab = a -1 > olsun. CG yi
indirgenmez CG-altmodüllerin direkt toplam ı olarak yazabiliriz. w = e 27ri/3
ve