PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

102 Bölüm 11. ızomorfizmalar ve Grup Cebirleri
HomcG(V,W) vektör uzay ı üzerindeki çalışmam ıza Schur Lemmas ın ın
bir uygulamasıyla ba şlayalim.
Onerme 11.1.2 Eğer V ve W indirgenmez CG-modüller ise, bu durumda
diTTL(HOMCG(V ı W))
1, V = W ise
O , V W ise
dir.
Ispat V W olsun. Bu durumda Schur Lemmas ından V den W ya
tan ımlanan bir CG-homomorfizma s ıfır homomorfizmas ıdır. Böylece
HomcG(V, = {0} olup, din2(Hom cG(V,W)) = 0 d ır.
Şimdi V = W ve O : V —t W bir CG-izomorfizma olsun. E ğer
E HomeG(V, W) ise, bu durumda O -1 O; V den V ye tan ımlanan bir CGizomorfizmad
ır. Schur Lemmas ından
O-1 0 = Alv
olacak şekilde bir A E C vard ır. Bu durumda çb, = AO olur ve
HomcG(V, W) = {A0 : A E C}
1-boyutlu bir uzayd ır.
•
Onerme 11.1.3 V ve W CG-modüller olsun. E ğer H omcG(V,W) {0}
ise, bu durumda V ve W bir ortak kompozisyon faktörüne sahiptir.
Ispat O; H ornw(V,W) nin s ıfırdan farkl ı bir eleman ı olsun. O # 0 olduğundan
Maschke Teoremi gere ğince V = Ker0 e U olacak şekilde s ıfırdan farkl ı
bir U CG-altmodülü vard ır. Eğer X; U nun indirgenmez CG-altmodülü
ise, 0(X) {0} ve V = Kere e U olduğundan Schur Lemmas ı gere ğince
0(X) = X dir. Böylece X; V ve W nin bir ortak kompozisyon faktörüdür.
■
Bundan sonra verece ğimiz sonuçlar Hom cG(V, W) nin boyutunun nas ıl
hesaplanaca ğına ili şkindir.
Onerme 11.1.4 V, Vi, V2 ve W, Wl, W2 CG-modüller olsun. Bu durumda
(i) dim(H omcG(V,W ı eW2)) = dim(H omcG(V,W1))+dirn(II orneG(V,W2))
(ii) dim(H orneG(VIEDV2, W)) = dim(HomcG(V ı , W))+diin(HOMCG(V2, W))