PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

120 Bölüm 12. E şlenik S ınıfları
(ii) Eğer x; Sn deki tek-permütasyonlarla değişmeli de ğilse, bu durumda
xsn, temsilcileri x ve (12)x(12)" olan A n de ayn ı eleman say ılı iki
eşlenik s ın ıf ına ayrılır.
Ispat
(i) g E S n bir tek-permütasyon olmak üzere gx = xg olsun. Eğer y E x sn
ise, bu durumda y = hxh' olacak şekilde bir h E S, vard ır. Eğer h
çift ise, bu durumda y E x An dir. Eğer h tek ise, bu durumda hg E An
ve
y = hx11-1 = hxyg"h" = hgx(hg)"
olacağından y E x An dir. Böylece xsn C xAn olduğundan xsn = x A n
dir.
(ii) Eğer x; S n deki tek-permütasyonlarla de ği şmeli değilse, bu durumda
Cs„(x) = C A,,(X) dir. Teorem 12.2.2 gere ğince
I
x A n I = [An : CA„(x)]
1 1
2 [Sn : CA„(x)] , (I An I= 2
S, 1)
2 [Sn : Cs,,(x)]
xsn
olur. a E An olmak üzere her tek-permütasyon a(12) biçiminde oldu ğundan
şeklindedir.
{hxl ı-1 : h tek} = ((12)x(12) -') An
x sn = {hx17, -1 : h çift} U {hxl ı,-1 : h tek}
xAn U ((12)X(12) -1 ) A "
olup I x A n I= xsn z I I olduğundan xAn ile ((12)x(12) -1 ) A" eşlenik
s ın ıflar ı ayr ık ve eleman say ılar ı ayn ı olmak zorundad ır.