Derivace funkce a aproximace funkce.

More documents

Recommendations

Info

Nejběˇznějˇsí aplikace diferenciálu spočívá v tom, ˇze (pro malá h, tj. pro x blízká x0) klademe f(x) ≈ f(x0)+df(x0), tj. skutečný pˇrír˚ustek funkce aproximujeme s jistou chybou, kterou značíme R(x0+h), diferenciálem. Poznámka: Pˇri zápisu diferenciálu funkce f v bodě x0 se výraz x−x0 často značí místo h jako dx, tj. df(x0) = f ′ (x0)·dx. Pˇríklad: Určete pˇribliˇzně hodnotu ln1.2 bez pouˇzití kalkulačky. ˇReˇsení. Pro výpočet pouˇzijeme vztah (2); číslo x0 pˇritom volíme tak, aby bylo ”blízko”čísla 1.2 a pˇritom takové, abychom byli schopni vypočítat lnx0 bez pouˇzití kalkulačky. Definujme f(x) = lnx a x0 = 1. Poté f ′ (x) = 1 x a Skutečná hodnota ln1.2 je 0.1823... ln1.2 . = f(x0)+f ′ (x0)·(x−x0) = ln 1+ 1 (1.2−1) = 0,2. 1 Definice 5.7 Necht’ je mnoˇzina Df ′ neprázdná. Potom se funkce f′ (x)·dxdvou proměnných x ∈ Df ′ a dx ∈ R nazývá diferenciál funkce f a značí se df. Existuje-li diferenciál funkce f, ˇríkáme, ˇze funkce f má diferenciál df nebo ˇze je diferencovatelná (na Df ′). Pˇríklad: Určete diferenciál funkce f(x) = 6x·sin(x 2 ) a diferenciál funkce f v bodě x0 = π 2 . ˇReˇsení. f ′ (x) = 6·sin(x 2 )+6x·cos(x 2 )·2x = 6sin(x 2 )+12x 2 ·cos(x 2 ), a tedy diferenciál funkce f má následující tvar: Diferenciál funkce f v bodě π 2 π df = 2 df(x) = f ′ (x)·dx = 6sin(x 2 )+12x 2 ·cos(x 2 ) ·dx. je tudíˇz roven: 6·sin π +12· 2 π 2 ·cos 14 π ·dx = 6·dx. 2
5.9.2 Taylor˚uv polynom Lepˇsí aproximaci získáme, pokud funkci v okolí daného bodu x0 aproximujeme polynomem vyˇsˇsího stupně. Necht’ f je libovolná funkce, která má na nějakém okolí bodu x0 derivace aˇz doˇrádu n+1 včetně, kde n ∈ N0. Potom m˚uˇzeme funkci f na tomto okolí aproximovat tzv. Taylorovým polynomem n-tého stupně funkce f v bodě x0, tj. polynomem, který je daný vztahem Pn(x) = n k=0 f (k) (x0) k! (x−x0) k = f(x0)+f ′ (x0)(x−x0)+ f′′ (x0) 2! Poznámka: Na určitém okolí bodu x0 tedy platí f(x) ≈ Pn(x). Poznámka: Velmi často volíme x0 = 0. V takovém pˇrípadě má Pn(x) tvar Pn(x) = n k=0 f (k) (0) k! xk . (x−x0) 2 +···+ f(n) (x0) (x−x0) n! n Z historických d˚uvod˚u se tento polynom nazývá Maclaurin˚uv polynom n-tého stupně funkce f. Poznámka: Poznamenejme, ˇze výraz f ′ (x0)·(x−x0), který se vyskytuje v Taylorově polynomu, je diferenciálem prvního ˇrádu funkce f v bodě x0, který byl definován dˇríve. Definice 5.8 . Výraz f ′′ (x0) · (x − x0) 2 je diferenciálem druhého ˇrádu funkce f v bodě x0. Značíme jej d 2 f(x0). Obecně. Necht’ k ∈ N. Výraz f (k) ·(x−x0) k je diferenciálem k-tého ˇrádu funkce f v bodě x0. Značíme jej d k f(x0). Pˇríklad: Pro funkci f(x) = e x sestrojte Maclaurinovy polynomy stupně 0−4. ˇReˇsení. Vˇsechny derivace funkce f(x) = e x jsou si rovny a jsou rovny funkci f(x), tj. f(x) = f ′ (x) = f ′′ (x) = f ′′′ (x) = f (4) (x) = e x . Jejich hodnoty v bodě 0 jsou si proto také rovny, f(0) = f ′ (0) = f ′′ (0) = f ′′′ (0) = f (4) (0) = e 0 = 1, a Maclaurinovy polynomy stupně 0−4 mají tudíˇz následující tvary: P0(x) = f(0) = 1 P1(x) = f(0)+f ′ (0)·x = 1+x P2(x) = f(0)+f ′ (0)·x+ f′′ (0) 2! P3(x) = f(0)+f ′ (0)·x+ f′′ (0) 2! P4(x) = f(0)+f ′ (0)·x+ f′′ (0) 2! ·x 2 + f′′′ (0) 3! ·x 2 + f′′′ (0) 3! 15 ·x 2 = 1+x+ x2 2! ·x 3 + f(4) (0) 4! ·x 3 = 1+x+ x2 2 + x3 6 ·x 4 = 1+x+ x2 2 + x3 6 + x4 24 .
Page 1 and 2: Obsah 5 Derivace funkce 2 5.1 Motiv
Page 3 and 4: 5.2 Derivace funkce v bodě Definic
Page 5 and 6: 5.4 Derivace funkce na mnoˇzině D
Page 7 and 8: Věta 5.7 (Derivace sloˇzené funk
Page 9 and 10: ··· n. Necht’ n ≥ 2 a necht
Page 11 and 12: Věta 5.10 (Lagrangeova, o stˇredn
Page 13: . 5.9 Aproximace funkce V praktick

Derivace funkce a aproximace funkce.

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?