Derivace funkce a aproximace funkce.

More documents

Recommendations

Info

5.3 Tečna a normála ke grafu funkce Věta 5.3 (Tečna) Necht’ f je spojitá v bodě x0 a necht’ má v bodě x0 derivaci (vlastní nebo nevlastní). Potom existuje tečna ke grafu funkce f v bodě T = (x0,f(x0)). Tato tečna je daná rovnicí • y = f(x0)+f ′ (x0)(x−x0), pokud je f ′ (x0) vlastní, • x = x0, pokud je f ′ (x0) nevlastní. Poznámka: Jestliˇze f není v x0 spojitá nebo v x0 neexistuje derivace, potom v bodě T neexistuje tečna. Věta 5.4 (Normála) Necht’ f je spojitá v bodě x0 a necht’ má v bodě x0 derivaci (vlastní nebo nevlastní). Potom rovnice normály ke grafu funkce f v bodě T = (x0,f(x0)) je • y = f(x0)− 1 f ′ (x0) (x−x0), pokud je f ′ (x0) vlastní nenulová, • x = x0, pokud f ′ (x0) = 0, • y = f(x0), pokud f ′ (x0) = ±∞. Poznámka: Tečna v daném bodě T existuje právě tehdy, kdyˇz existuje normála v bodě T. 4
5.4 Derivace funkce na mnoˇzině Definice 5.3 Necht’ je funkce f definovaná na Df ⊂ R. Necht’ M1 ⊂ Df je mnoˇzina vˇsech bod˚u, v nichˇz má f vlastní derivaci. Je-li M1 = ∅, potom funkci f ′ : M1 → R, která kaˇzdému x0 ∈ M1 pˇriˇradí reálné číslo f ′ (x0), nazýváme derivací funkce f. Definičním oborem funkce f ′ je mnoˇzina M1. Poznámka: • Funkce f ′ se také značí jako df d(f(x)) , , Dxf aj. dx dx • Uvaˇzujeme-li pouze f ′ : M ⊂ M1 → R, ˇríkáme, ˇze funkce f má derivaci f ′ na mnoˇzině M. • Je-li M = 〈a,b〉, ˇríkáme, ˇze funkce f má derivaci na M, má-li vlastní derivaci na (a,b), vlastní derivaci zprava v bodě a a vlastní derivaci zleva v bodě b. Poznámka: f ′ je funkce, f ′ (x0) je číslo. Věta 5.5 Má-li funkce f na mnoˇzině M ⊂ R derivaci, pak je f na M spojitá. Definice 5.4 Funkce f se nazývá hladká na mnoˇzině M, jestliˇze její derivace f ′ je na M spojitá. Poznámka: Je-li f ′ spojitá na M, znamená to, ˇze existuje vlastní derivace f ′ (x0) v kaˇzdém bodě x0 ∈ M. Tzn., ˇze v kaˇzdém bodě existuje tečna a graf funkce f nemá ”hroty”. 5.5 Derivace elementárních funkcí Pˇri výpočtu derivací pouˇzíváme vzorce pro derivování základních elementárních funkcí, které jsou odvozeny z definice derivace, a pravidla pro derivování součtu, součinu, podílu..... 5.5.1 Vzorce pro derivaci základních elementárních funkcí (a) ′ = 0 a ∈ R (xn ) ′ = n·x n−1 n ∈ N, x ∈ R (xα ) ′ = α·x α−1 α ∈ R, x ∈ R + (ex ) ′ = ex x ∈ R (ax ) ′ = ax ·lna a ∈ R + \{1}, x ∈ R (lnx) ′ = 1 x ∈ R x + (logax) ′ 1 = a ∈ R x·lna + \{1}, x ∈ R + (sinx) ′ = cosx x ∈ R (cosx) ′ = −sinx x ∈ R (tgx) ′ = 1 cos 2 x x ∈ R\{ π 2 +k ·π,k ∈ Z} (cotgx) ′ = − 1 sin 2 x x ∈ R\{k ·π,k ∈ Z} (arcsinx) ′ = 1 √ 1−x 2 x ∈ (−1,1) (arccosx) ′ = − 1 √ 1−x 2 x ∈ (−1,1) (arctgx) ′ = 1 1+x 2 (arccotgx) ′ = − 1 1+x 2 x ∈ R x ∈ R 5 (sinhx) ′ = coshx x ∈ R (coshx) ′ = sinhx x ∈ R (tghx) ′ = 1 cosh 2 x x ∈ R (cotghx) ′ = − 1 sinh 2 x x ∈ R\{0}
Page 1 and 2: Obsah 5 Derivace funkce 2 5.1 Motiv
Page 3: 5.2 Derivace funkce v bodě Definic
Page 7 and 8: Věta 5.7 (Derivace sloˇzené funk
Page 9 and 10: ··· n. Necht’ n ≥ 2 a necht
Page 11 and 12: Věta 5.10 (Lagrangeova, o stˇredn
Page 13 and 14: . 5.9 Aproximace funkce V praktick
Page 15: 5.9.2 Taylor˚uv polynom Lepˇsí a

Derivace funkce a aproximace funkce.

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?