Derivace funkce a aproximace funkce.

Pro derivaci funkcí tvaru f(x) g(x) (f(x) > 0) se pouˇzívá tzv. logaritmická derivace funkce.
Zde musíme pouˇzít následují pˇrepis
f(x) g(x) = e g(x)·lnf(x)
a v tomto tvaru pak derivovat podle v´yˇse uveden´ych pravidel:
g(x)
f(x) ′
g(x)·lnf(x)
= e
′ g(x)·lnf(x)
= e · g(x)·lnf(x)
počítáme-li dál a znovu vyuˇzijeme (1), získáme
= e g(x)·lnf(x)
· g ′ 1
(x)·lnf(x)+g(x)·
f(x) ·f′
(x)
= f(x) g(x) ·
′
= ...
g ′ (x)·lnf(x)+ g(x)·f′
(x)
f(x)
V´yˇseodvozen´yvzorecsenazpamět’samozˇrejměneučte,d˚uleˇzitéjeznátpostup,kter´ysepˇriderivování
funkcí tvaru f(x) g(x) pouˇzívá.
5.6 Derivace vyˇsˇsích ˇrád˚u
Definice 5.5
1. Necht’máfunkcef prokaˇzdéx ∈ M1 vlastní derivaci. Funkcef ′ ,která kaˇzdémux0 ∈ M1 pˇriˇradí
číslo f ′ (x0) se naz´yvá první derivace funkce f nebo derivace prvního ˇrádu funkce f.
2. Necht’ M2 ⊂ M1 je neprázdná mnoˇzina vˇsech bod˚u, v nichˇz má funkce f ′ vlastní derivaci.
Potom se funkce f ′′ , která kaˇzdému x0 ∈ M2 pˇriˇradí číslo (f ′ ) ′ (x0), naz´yvá druhá derivace
funkce f nebo derivace druhého ˇrádu funkce f. Funkce f ′′ má definiční obor M2 a značí
se také f (2) nebo d2 f
dx 2.
3. Necht’ M3 ⊂ M2 je neprázdná mnoˇzina vˇsech bod˚u, v nichˇz má funkce f ′′ vlastní derivaci.
Potom se funkce f ′′′ , která kaˇzdému x0 ∈ M3 pˇriˇradí číslo (f ′′ ) ′ (x0), naz´yvá tˇretí derivace
funkce f nebo derivace tˇretího ˇrádu funkce f. Funkce f ′′′ má definiční obor M3 a značí
se také f (3) nebo d3 f
dx 3.
8
(1)