Derivace funkce a aproximace funkce.

Obsah
5 Derivace funkce 2
5.1 Motivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.2 Derivace funkce v bodě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.3 Tečna a normála ke grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5.4 Derivace funkce na mnoˇzině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.5 Derivace elementárních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.5.1 Vzorce pro derivaci základních elementárních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.5.2 V´ypočet derivací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.6 Derivace vyˇsˇsích ˇrád˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.7 Základní věty diferenciálního počtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.8 L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.9 Aproximace funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.9.1 Diferenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.9.2 Taylor˚uv polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Derivace funkce
5.1 Motivace
•
•
Úloha o okamˇzité rychlosti (fyzikální motivace, I. Newton)
Necht’ je pˇrímočar´y pohyb hmotného bodu popsán funkcí f, pˇričemˇz hodnota f(t) vyjadˇruje
polohu bodu v čase t.
Za dobu ∆t = t − t0 urazí bod dráhu ∆s = f(t) − f(t0) = f(t0 + ∆t) − f(t0). Pr˚uměrnou
rychlost lze pak určit jako
v = ∆s
∆t = f(t0 +∆t)−f(t0)
∆t
Okamˇzitou rychlost v0 hmotného bodu v čase t0 potom získáme tak, ˇze určíme limitu v pro
∆t → 0:
f(t0 +∆t)−f(t0)
v0 = lim
∆t→0 ∆t
Úloha o tečně (geometrická motivace, W. Leibniz)
Úkolem je určit směrnici tečny ke grafu funkce f v bodě P = (x0,f(x0)). Pˇrímka (tečna) je
dána bodem P a směrnicí (= tgϕ).
Směrnice sečny procházející body P a Q = (x0 +∆x,f(x0 +∆x)) je dána vztahem
ks = f(x0 +∆x)−f(x0)
∆x
(tj. jako tangens úhlu, kter´y tato sečna svírá s kladn´ym směrem osy x). Pro ∆x → 0 se bod Q
”blíˇzí”po grafu funkce f k bodu P a tedy ks → kt, kde kt je směrnice hledané tečny:
f(x0 +∆x)−f(x0)
kt = lim
∆x→0 ∆x
2

5.2 Derivace funkce v bodě
Definice 5.1 Necht’ je funkce f definovaná na nějakém okolí bodu x0 ∈ Df. Existuje-li limita
lim
h→0
f(x0 +h)−f(x0)
,
h
pak se tato limita naz´yvá derivace funkce f v bodě x0 a značí se nejčastěji jako f ′ (x0), df(x0)
dx nebo
df
dx (x0). Existuje-li f ′ (x0), ˇríkáme, ˇze funkce f má v bodě x0 derivaci.
Poznámka: Je-li derivace v bodě x0 rovna ∞ nebo −∞, naz´yvá se nevlastní derivace v bodě x0.
Jinak se naz´yvá (vlastní) derivace v bodě x0.
Poznámka: Jestliˇze poloˇzíme x = x0 + h, potom pro h → 0 dostáváme x → x0 a derivaci m˚uˇzeme
vyjádˇrit ve tvaru
f ′ f(x)−f(x0)
(x0) = lim .
x→x0 x−x0
Definice 5.2
• Necht’ f je definována na nějakém pravém okolí bodu x0 ∈ Df. Existuje-li limita
lim
h→0 +
f(x0 +h)−f(x0)
,
h
naz´yvá se derivace funkce f v bodě x0 zprava a značí se nejčastěji jako f ′ + (x0).
• Necht’ f je definována na nějakém levém okolí bodu x0 ∈ Df. Existuje-li limita
lim
h→0 −
f(x0 +h)−f(x0)
,
h
naz´yvá se derivace funkce f v bodě x0 zleva a značí se nejčastěji jako f ′ −(x0).
• Derivace zprava a zleva v bodě x0 se souhrnně naz´yvají jednostranné derivace v bodě x0.
Věta 5.1 Funkce f má v bodě x0 derivaci právě tehdy, kdyˇz má v bodě x0 obě jednostranné derivace,
pro které navíc platí f ′ +(x0) = f ′ −(x0).
Věta 5.2 (Vztah mezi spojitostí a derivací v bodě) Má-li funkce f v bodě x0 vlastní derivaci,
potom je v bodě x0 spojitá.
Poznámka: Obrácená Věta neplatí. Pˇredpoklad existence vlastní derivace je nutn´y.
3

5.3 Tečna a normála ke grafu funkce
Věta 5.3 (Tečna) Necht’ f je spojitá v bodě x0 a necht’ má v bodě x0 derivaci (vlastní nebo
nevlastní). Potom existuje tečna ke grafu funkce f v bodě T = (x0,f(x0)). Tato tečna je daná
rovnicí
• y = f(x0)+f ′ (x0)(x−x0), pokud je f ′ (x0) vlastní,
• x = x0, pokud je f ′ (x0) nevlastní.
Poznámka: Jestliˇze f není v x0 spojitá nebo v x0 neexistuje derivace, potom v bodě T neexistuje
tečna.
Věta 5.4 (Normála) Necht’ f je spojitá v bodě x0 a necht’ má v bodě x0 derivaci (vlastní nebo
nevlastní). Potom rovnice normály ke grafu funkce f v bodě T = (x0,f(x0)) je
• y = f(x0)− 1
f ′ (x0) (x−x0), pokud je f ′ (x0) vlastní nenulová,
• x = x0, pokud f ′ (x0) = 0,
• y = f(x0), pokud f ′ (x0) = ±∞.
Poznámka: Tečna v daném bodě T existuje právě tehdy, kdyˇz existuje normála v bodě T.
4

5.4 Derivace funkce na mnoˇzině
Definice 5.3 Necht’ je funkce f definovaná na Df ⊂ R. Necht’ M1 ⊂ Df je mnoˇzina vˇsech bod˚u, v
nichˇz má f vlastní derivaci. Je-li M1 = ∅, potom funkci f ′ : M1 → R, která kaˇzdému x0 ∈ M1 pˇriˇradí
reálné číslo f ′ (x0), naz´yváme derivací funkce f. Definičním oborem funkce f ′ je mnoˇzina M1.
Poznámka:
• Funkce f ′ se také značí jako df d(f(x))
, , Dxf aj.
dx dx
• Uvaˇzujeme-li pouze f ′ : M ⊂ M1 → R, ˇríkáme, ˇze funkce f má derivaci f ′ na mnoˇzině M.
• Je-li M = 〈a,b〉, ˇríkáme, ˇze funkce f má derivaci na M, má-li vlastní derivaci na (a,b), vlastní
derivaci zprava v bodě a a vlastní derivaci zleva v bodě b.
Poznámka: f ′ je funkce, f ′ (x0) je číslo.
Věta 5.5 Má-li funkce f na mnoˇzině M ⊂ R derivaci, pak je f na M spojitá.
Definice 5.4 Funkce f se naz´yvá hladká na mnoˇzině M, jestliˇze její derivace f ′ je na M spojitá.
Poznámka: Je-li f ′ spojitá na M, znamená to, ˇze existuje vlastní derivace f ′ (x0) v kaˇzdém bodě
x0 ∈ M. Tzn., ˇze v kaˇzdém bodě existuje tečna a graf funkce f nemá ”hroty”.
5.5 Derivace elementárních funkcí
Pˇri v´ypočtu derivací pouˇzíváme vzorce pro derivování základních elementárních funkcí, které jsou
odvozeny z definice derivace, a pravidla pro derivování součtu, součinu, podílu.....
5.5.1 Vzorce pro derivaci základních elementárních funkcí
(a) ′ = 0 a ∈ R
(xn ) ′ = n·x n−1 n ∈ N, x ∈ R
(xα ) ′ = α·x α−1 α ∈ R, x ∈ R +
(ex ) ′ = ex x ∈ R
(ax ) ′ = ax ·lna a ∈ R + \{1}, x ∈ R
(lnx) ′ = 1 x ∈ R x
+
(logax) ′ 1 = a ∈ R x·lna
+ \{1}, x ∈ R +
(sinx) ′ = cosx x ∈ R
(cosx) ′ = −sinx x ∈ R
(tgx) ′ = 1
cos 2 x
x ∈ R\{ π
2
+k ·π,k ∈ Z}
(cotgx) ′ = − 1
sin 2 x x ∈ R\{k ·π,k ∈ Z}
(arcsinx) ′ = 1
√ 1−x 2
x ∈ (−1,1)
(arccosx) ′ = − 1
√ 1−x 2 x ∈ (−1,1)
(arctgx) ′ = 1
1+x 2
(arccotgx) ′ = − 1
1+x 2
x ∈ R
x ∈ R
5
(sinhx) ′ = coshx x ∈ R
(coshx) ′ = sinhx x ∈ R
(tghx) ′ = 1
cosh 2 x x ∈ R
(cotghx) ′ = − 1
sinh 2 x
x ∈ R\{0}

.
5.5.2 V´ypočet derivací
Pro v´ypočet derivací se pouˇzívají kromě vzorc˚u pro derivace základních elementárních funkcí také
věty o derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí a věty o derivaci sloˇzené a inverzní funkce.
Věta 5.6 Necht’ funkce f a g mají vlastní derivace na mnoˇziněM. Potom mají na M vlastní derivace
také funkce f ±g, f ·g a f
(poslední pouze pro g(x) = 0) a platí
g
(f ±g) ′ (x) = f ′ (x)±g ′ (x)
(f ·g) ′ (x) = f ′ (x)·g(x)+f(x)·g ′ (x)
′
f
(x) =
g
f′ (x)·g(x)−f(x)·g ′ (x)
g2 (x)
6

Věta 5.7 (Derivace sloˇzené funkce)
Necht’ g má vlastní derivaci v bodě x0 a necht’ funkce f má vlastní derivaci v bodě g(x0). Potom
sloˇzená funkce f ◦g má vlastní derivaci v bodě x0 a platí
(f ◦g) ′ (x0) = f ′ (g(x0))·g ′ (x0).
Věta 5.8 (Derivace inverzní funkce)
Necht’ je funkce f spojitá a ryze monotónní na nějakém U(x0), kde x0 ∈ Df, a necht’ f ′ (x0) = 0.
Potom existuje derivace inverzní funkce f −1 v bodě y0 = f(x0) a platí
(f −1 ) ′ (y0) = 1
f ′ (x0)
7

Pro derivaci funkcí tvaru f(x) g(x) (f(x) > 0) se pouˇzívá tzv. logaritmická derivace funkce.
Zde musíme pouˇzít následují pˇrepis
f(x) g(x) = e g(x)·lnf(x)
a v tomto tvaru pak derivovat podle v´yˇse uveden´ych pravidel:
g(x)
f(x) ′
g(x)·lnf(x)
= e
′ g(x)·lnf(x)
= e · g(x)·lnf(x)
počítáme-li dál a znovu vyuˇzijeme (1), získáme
= e g(x)·lnf(x)
· g ′ 1
(x)·lnf(x)+g(x)·
f(x) ·f′
(x)
= f(x) g(x) ·
′
= ...
g ′ (x)·lnf(x)+ g(x)·f′
(x)
f(x)
V´yˇseodvozen´yvzorecsenazpamět’samozˇrejměneučte,d˚uleˇzitéjeznátpostup,kter´ysepˇriderivování
funkcí tvaru f(x) g(x) pouˇzívá.
5.6 Derivace vyˇsˇsích ˇrád˚u
Definice 5.5
1. Necht’máfunkcef prokaˇzdéx ∈ M1 vlastní derivaci. Funkcef ′ ,která kaˇzdémux0 ∈ M1 pˇriˇradí
číslo f ′ (x0) se naz´yvá první derivace funkce f nebo derivace prvního ˇrádu funkce f.
2. Necht’ M2 ⊂ M1 je neprázdná mnoˇzina vˇsech bod˚u, v nichˇz má funkce f ′ vlastní derivaci.
Potom se funkce f ′′ , která kaˇzdému x0 ∈ M2 pˇriˇradí číslo (f ′ ) ′ (x0), naz´yvá druhá derivace
funkce f nebo derivace druhého ˇrádu funkce f. Funkce f ′′ má definiční obor M2 a značí
se také f (2) nebo d2 f
dx 2.
3. Necht’ M3 ⊂ M2 je neprázdná mnoˇzina vˇsech bod˚u, v nichˇz má funkce f ′′ vlastní derivaci.
Potom se funkce f ′′′ , která kaˇzdému x0 ∈ M3 pˇriˇradí číslo (f ′′ ) ′ (x0), naz´yvá tˇretí derivace
funkce f nebo derivace tˇretího ˇrádu funkce f. Funkce f ′′′ má definiční obor M3 a značí
se také f (3) nebo d3 f
dx 3.
8
(1)

···
n. Necht’ n ≥ 2 a necht’ Mn ⊂ Mn−1 je neprázdná mnoˇzina vˇsech bod˚u, v nichˇz má funkce f (n−1)
vlastníderivaci.Potomsefunkcef (n) ,kterákaˇzdémux0 ∈ Mn pˇriˇradíčíslo(f (n−1) ) ′ (x0),naz´yvá
n-tá derivace funkce f nebo derivace n-tého ˇrádu funkce f. Funkce f (n) má definiční
obor Mn a značí se také dn f
dx n.
Definice 5.6 Číslo f(n) (x0) nazveme derivací n-tého ˇrádu funkce f v bodě x0.
Poznámka: Jinak lze derivaci n-téhoˇrádu funkce f v bodě x0 ∈ Mn opět definovat pomocí limity, tj.
jako
f (n) (x0) = lim
h→0
Interpretace derivace druhého ˇrádu
f (n−1) (x0 +h)−f (n−1) (x0)
.
h
• Fyzikální interpretace
s = f(t) ...dráha hmotného bodu v čase t
v = f ′ (t) ...okamˇzitá rychlost v čase t
∆v ...pr˚uměrné zrychlení
∆t
lim∆t→0 ∆v
...okamˇzité zrychlení, značí se a(t)
∆t
tj. a(t) = f ′′ (t) ...okamˇzité zrychlení je druhá derivace dráhy
• Geometrická interpretace
viz kapitola Pr˚uběh funkce
9

5.7 Základní věty diferenciálního počtu
Funkce, kteréjsouspojiténauzavˇrenémintervalu 〈a,b〉,majíspecifické vlastnosti (vizWeierstrassovy
a Bolzanovy věty). Nyní si ukáˇzeme vlastnosti, které jsou typické pro funkce spojité na uzavˇreném
intervalu 〈a,b〉, které mají navíc na otevˇreném intervalu (a,b) derivaci.
Věta 5.9 (Rolleova) Necht’ pro funkci f platí, ˇze
a) f je spojitá na intervalu 〈a,b〉,
b) f má (vlastní nebo nevlastní) derivaci na intervalu (a,b),
c) f(a) = f(b).
Potom existuje alespoň jeden bod c ∈ (a,b) tak, ˇze f ′ (c) = 0.
10

Věta 5.10 (Lagrangeova, o stˇrední hodnotě, o pˇrír˚ustku funkce) Necht’ pro funkci f platí,
ˇze
a) f je spojitá na intervalu 〈a,b〉,
b) f má (vlastní nebo nevlastní) derivaci na intervalu (a,b).
Potom existuje alespoň jeden bod c ∈ (a,b) tak, ˇze
D˚usledky Lagrangeovy věty:
f ′ (c) = f(b)−f(a)
.
b−a
Věta 5.11 Necht’ f splňuje pˇredpoklady Lagrangeovy věty a necht’ navíc platí, ˇze f ′ (x) = 0 pro
vˇsechna x ∈ (a,b). Potom je funkce f prostá na intervalu 〈a,b〉.
Věta 5.12 Funkce f je konstantní na (a,b) právě tehdy, kdyˇz f ′ (x) = 0 pro vˇsechna x ∈ (a,b).
Věta 5.13 (Cauchyova, zobecněná věta o stˇrední hodnotě) Necht’ pro funkce f a g platí, ˇze
a) f a g jsou spojité na intervalu 〈a,b〉,
b) f a g mají derivace na intervalu (a,b),
c) g ′ (x) je vlastní a nenulová pro vˇsechna x ∈ (a,b).
11

Potom existuje alespoň jeden bod c ∈ (a,b) tak, ˇze
5.8 L’Hospitalovo pravidlo
f ′ (c)
g ′ (c)
= f(b)−f(a)
g(b)−g(a) .
D˚usledkem Lagrangeovy věty je L’Hospitalovo pravidlo (vyslovuje se lopitalovo), které usnadňuje
v´ypočet někter´ych limit. Nejčastěji se toto pravidlo pouˇzívá u limit typu 0
0
a ∞
∞ .
Věta 5.14 (L’Hospitalovo pravidlo) Necht’ funkce f a g mají vlastní derivace na nějakém U ∗ (c),
kde c ∈ R ∗ . Necht’ dále platí
1. bud’
limf(x)
= limg(x)
= 0
x→c x→c
nebo
lim|g(x)|
= ∞
x→c
(o limitě limf(x)
v tomto pˇrípadě nepˇredpokládáme nic, ani její existenci)
x→c
2. existuje limita (vlastní nebo nevlastní) lim
x→c
Potom existuje také limita
f(x)
lim
x→c g(x)
f ′ (x)
g ′ (x) .
f(x)
a platí lim
x→c g(x)
12
f
= lim
x→c
′ (x)
g ′ (x) .

.
5.9 Aproximace funkce
V praktick´ych aplikacích jsou někdy vztahy mezi nezávisle proměnnou x a závisle proměnnou y
vyjádˇreny pomocí velmi sloˇzit´ych pˇredpis˚u. Z tohoto d˚uvodu vzniká potˇreba danou sloˇzitou funkci
popisující vztahy mezi proměnn´ymi nahradit (aproximovat) v okolí určitého bodu x0 nějakou funkcí
jednoduˇsˇsí, jejíˇz hodnoty lze snadno vypočítat a se kterou se ”lépe pracuje”.
Nejprve se budeme zab´yvat situací nejjednoduˇsˇsí - funkci budeme na okolí bodu x0 nahrazovat
polynomem prvního stupně, tedy funkcí lineární. Poté se budeme zab´yvat aproximací funkce v okolí
bodu x0 polynomem vyˇsˇsího stupně, která je pˇresnějˇsí, ale náročnějˇsí na konstrukci. Poznamenejme,
ˇze polynomy se pro aproximaci vyuˇzívají z toho d˚uvodu, ˇze mají ”vhodné”vlastnosti - napˇr. mají
derivaci libovolného ˇrádu a tyto derivace se velmi lehce vypočítají.
5.9.1 Diferenciál
Jak jsme se jiˇz zmínili v úvodním odstavci, nejjednoduˇsˇsí je aproximace pomocí polynomu 1. stupně.
Vtomtopˇrípaděfunkcif aproximujemevokolídanéhobodux0 tečnousestrojenouvbodě(x0,f(x0)).
Necht’ má funkce f v bodě x0 vlastní derivaci. V takovém pˇrípadě pro funkční hodnotu f(x), kde
bod x = x0 +h je ”dostatečně blízko”bodu x0, platí
f(x) ≈ f(x0)+f ′ (x0)·(x−x0). (2)
Pˇrír˚ustek funkce (diference) f(x)−f(x0) je tedy pˇribliˇzně roven hodnotě f ′ (x0)·(x−x0), kterou
naz´yváme diferenciál funkce f v bodě x0 nebo diferenciálem prvního ˇrádu funkce f v bodě
x0. Diferenciál funkce f v bodě x0 označujeme df(x0), tj.
df(x0) = f ′ (x0)·(x−x0).
Poznamenejme, ˇze diferenciál funkce f v bodě x0 je lineární funkce závisející na proměnné x.
13

Nejběˇznějˇsí aplikace diferenciálu spočívá v tom, ˇze (pro malá h, tj. pro x blízká x0) klademe
f(x) ≈ f(x0)+df(x0),
tj. skutečn´y pˇrír˚ustek funkce aproximujeme s jistou chybou, kterou značíme R(x0+h), diferenciálem.
Poznámka: Pˇri zápisu diferenciálu funkce f v bodě x0 se v´yraz x−x0 často značí místo h jako dx,
tj.
df(x0) = f ′ (x0)·dx.
Pˇríklad: Určete pˇribliˇzně hodnotu ln1.2 bez pouˇzití kalkulačky.
ˇReˇsení. Pro v´ypočet pouˇzijeme vztah (2); číslo x0 pˇritom volíme tak, aby bylo ”blízko”čísla 1.2 a
pˇritom takové, abychom byli schopni vypočítat lnx0 bez pouˇzití kalkulačky.
Definujme f(x) = lnx a x0 = 1. Poté f ′ (x) = 1
x a
Skutečná hodnota ln1.2 je 0.1823...
ln1.2 . = f(x0)+f ′ (x0)·(x−x0) = ln 1+ 1
(1.2−1) = 0,2.
1
Definice 5.7 Necht’ je mnoˇzina Df ′ neprázdná. Potom se funkce f′ (x)·dxdvou proměnn´ych x ∈ Df ′
a dx ∈ R naz´yvá diferenciál funkce f a značí se df. Existuje-li diferenciál funkce f, ˇríkáme, ˇze
funkce f má diferenciál df nebo ˇze je diferencovatelná (na Df ′).
Pˇríklad: Určete diferenciál funkce f(x) = 6x·sin(x 2 ) a diferenciál funkce f v bodě x0 = π
2 .
ˇReˇsení. f ′ (x) = 6·sin(x 2 )+6x·cos(x 2 )·2x = 6sin(x 2 )+12x 2 ·cos(x 2 ), a tedy diferenciál funkce f
má následující tvar:
Diferenciál funkce f v bodě π 2
π
df =
2
df(x) = f ′ (x)·dx = 6sin(x 2 )+12x 2 ·cos(x 2 ) ·dx.
je tudíˇz roven:
6·sin
π
+12·
2
π
2 ·cos
14
π
·dx = 6·dx.
2

5.9.2 Taylor˚uv polynom
Lepˇsí aproximaci získáme, pokud funkci v okolí daného bodu x0 aproximujeme polynomem vyˇsˇsího
stupně.
Necht’ f je libovolná funkce, která má na nějakém okolí bodu x0 derivace aˇz doˇrádu n+1 včetně,
kde n ∈ N0. Potom m˚uˇzeme funkci f na tomto okolí aproximovat tzv. Taylorov´ym polynomem
n-tého stupně funkce f v bodě x0, tj. polynomem, kter´y je dan´y vztahem
Pn(x) =
n
k=0
f (k) (x0)
k!
(x−x0) k = f(x0)+f ′ (x0)(x−x0)+ f′′ (x0)
2!
Poznámka: Na určitém okolí bodu x0 tedy platí
f(x) ≈ Pn(x).
Poznámka: Velmi často volíme x0 = 0. V takovém pˇrípadě má Pn(x) tvar
Pn(x) =
n
k=0
f (k) (0)
k! xk .
(x−x0) 2 +···+ f(n) (x0)
(x−x0)
n!
n
Z historick´ych d˚uvod˚u se tento polynom naz´yvá Maclaurin˚uv polynom n-tého stupně funkce
f.
Poznámka: Poznamenejme, ˇze v´yraz f ′ (x0)·(x−x0), kter´y se vyskytuje v Taylorově polynomu, je
diferenciálem prvního ˇrádu funkce f v bodě x0, kter´y byl definován dˇríve.
Definice 5.8 . V´yraz f ′′ (x0) · (x − x0) 2 je diferenciálem druhého ˇrádu funkce f v bodě x0.
Značíme jej d 2 f(x0).
Obecně. Necht’ k ∈ N. V´yraz f (k) ·(x−x0) k je diferenciálem k-tého ˇrádu funkce f v bodě x0.
Značíme jej d k f(x0).
Pˇríklad: Pro funkci f(x) = e x sestrojte Maclaurinovy polynomy stupně 0−4.
ˇReˇsení. Vˇsechny derivace funkce f(x) = e x jsou si rovny a jsou rovny funkci f(x), tj.
f(x) = f ′ (x) = f ′′ (x) = f ′′′ (x) = f (4) (x) = e x .
Jejich hodnoty v bodě 0 jsou si proto také rovny, f(0) = f ′ (0) = f ′′ (0) = f ′′′ (0) = f (4) (0) = e 0 = 1,
a Maclaurinovy polynomy stupně 0−4 mají tudíˇz následující tvary:
P0(x) = f(0) = 1
P1(x) = f(0)+f ′ (0)·x = 1+x
P2(x) = f(0)+f ′ (0)·x+ f′′ (0)
2!
P3(x) = f(0)+f ′ (0)·x+ f′′ (0)
2!
P4(x) = f(0)+f ′ (0)·x+ f′′ (0)
2!
·x 2 + f′′′ (0)
3!
·x 2 + f′′′ (0)
3!
15
·x 2 = 1+x+ x2
2!
·x 3 + f(4) (0)
4!
·x 3 = 1+x+ x2
2
+ x3
6
·x 4 = 1+x+ x2
2
+ x3
6
+ x4
24 .