Lausnir á dæmum Algebru II

More documents

Recommendations

Info

40. Dæmi 40: R sé heilbaugur, sem við skoðum einnig sem R-mótul. Gefin séu stök a og b í R, hvorugt þeirra 0. Látum M vera deildamótulinn R/Rab og N vera hlutmótulinn Ra/Rab í M. Sýnið að N hafi fyllimótul í M þá og því aðeins að til séu stök u og v í R þannig að ua + bv = 1. Lausn: Ef gefið er að ua + vb = 1 þá fæst að Svo að R = Ra + Rb. Ef x ∈ Ra ∩ Rb þá fæst x = x · 1 = xua + xvb ∈ Ra + Rb x = xua + xvb ∈ Rab því x ∈ Ra og x ∈ Rb. Svo að Ra ∩ Rb = Rab(Hin áttin er augljós). Þetta gefur að R/Rab = (Ra/Rab)⊕(Rb/Rab). Þá sé gefið að R/Rab = Ra/Rab⊕P með P ⊆ R/Rab. Skrifum P = P /Rab með P ⊆ R þannig að Rab ⊆ P . Þá er semsagt R = Ra + P og Ra ∩ P = Rab. Sér í lagi getum við skrifað 1 = ua + w með w ∈ P . Þá fæst að a = ua 2 + aw, þ.e. a − ua 2 = aw ∈ Ra ∩ P = Rab svo til er v þannig að a − ua 2 = vab. Þar sem R er heilbugur og a = 0 þá leiðir af þessu að 1 − ua = vb, þ.e. 1 = ua + vb. 41. Dæmi 41: R sé víxlinn baugur, sem við skoðum einnig sem R-mótul. Sýnið að sérhvert tveggja staka hlutmengi í R sé línulega háð. Sýnið einnig að eins staka hlutmengi {a} í R, þar sem a = 0, sé línulega háð þá og því aðeins að a sé núlldeilir í R. Lausn: a og b eru línulega háð því b · a + (−a) · b = 0 og b, −a ekki bæði 0. Nú sé a ∈ R, = 0. Þá er a línulega háð þá og því aðeins að til sé c ∈ R, c = 0 þannig að c·a = 0.Athugum nú ef við höfum bara eitt stak. Ef a er núlldeilir er til stak r ∈ R, r = 0 þannig að r · a = 0, það gildir þ.þ.a.a. a sé línulega háð. Afleiðing: R er höfuðíðalbaugur þá og því aðeins að sérhvert íðal í R sé frjálst. 42. Dæmi 42: R sé hlutbaugur í baugnum S og M sé S-mótull. Við getum þá líka skoðað S og M sem R-mótla. Gefið sé að fjölskyldan (xi)i∈I sé grunnur fyrir M sem S-mótul og að fjölskyldan (uj)j∈J sé grunnur fyrir S sem R-mótul. Sýnið að fjölskyldan (ujxi)j∈J,i∈I sé grunnur fyrir M sem R-mótul. Lausn: Ef (aji)j∈J,i∈I fjölskylda í R-mótli með endanlega stoð þannig að j∈J,i∈I aj,iujxi = 0 þá fæst að i∈I (j∈J ajiuj)xi = 0 þar sem (xi)i∈I eru línulega óháð, þá fæst, fyrir sérhvert i ∈ I, að j∈J ajiuj = 0 og þar sem (uj)j∈J eru línulega óháð, þýðir það að aji = 0 fyrir öll j ∈ J. Svo að (ujxi)j∈J,i∈I er línulega óháð. Athugum nú, sé gefið x ∈ M. Skrifum x = i∈I cixi með ci ∈ S, næstum öll ci = 0. Fyrir sérhvert i ∈ I skrifum við svo ci = j∈J ajiuj, þar sem aji ∈ R, næstum öll aji = 0. Fyrir næstum öll i ∈ I getum við valið aji = 0 fyrir öll j ∈ J. Þá fæst x = j∈J,i∈I ajiujxi, þar sem aji ∈ R, næstum öll aji = 0. Svo (ujxi)i∈I,j∈J spannar M sem R-mótul. 43. Dæmi 43: 44. Dæmi 44: R sé baugur og M sé frjáls R-mótull. Sýnið að R-línuleg vörpun ϕ : M → M sé eintæk þá og því aðeins að ϕ sé ekki vinstri núlldeilir í baugnum EndR(M). Lausn: Fyrst sé gefið að ϕ er eintæk. Gerum ráð fyrir að ϕ sé vinstri núlldeilir í EndR(M). Það að ϕ sé vinstru núlldeilir þýðir að til er χ ∈ EndR(M), χ = 0, þannig að ϕ ◦ χ = 0 fyrir öll x ∈ M. Þar sem ϕ er eintæk þá leiðir af þessu að χ(x) = 0 fyrir öll x ∈ M, þ.e.a.s. χ = 0, Mótsögn, gerðum ráð fyrir að χ = 0. Sýnum hina áttina með contrapositive. Gefið er að ϕ sé ekki eintæk. Þá er til y ∈ M, y = 0 þannig að ϕ(y) = 0. Þurfum að finna χ, þannig að ϕ ◦ χ = {0}. Veljum grunn (xi)i∈I fyrir M og skilgreinum χ ∈ EndR(M) með því að setja χ(xi) = y fyrir öll i ∈ I. Þá er (ϕ ◦ χ)(xi) = ϕ(y) = 0 fyrir öll i ∈ I, svo að ϕ ◦ χ = 0. Þar sem χ = 0( vegna y = 0), þá sýnir þetta að ϕ er vinstri núlldeilir. 45. Dæmi 45: Bein afleiðing af verkefni 35. 10
46. Dæmi 46: Skoðum Q sem Z-mótul. Sýnið sérhvert tveggja staka hlutmengi í Q sé línulega háð. Sýnið einnig að ekkert eins staks hlutmengi í Q spanni Q. Lausn: Athugum ef p p q er fullstytt, þá er 2q greinilega ekki til grunnur. 47. Dæmi 47: Sjá blaði (p2q1) p1 q1 + (−p1q2) p2 = 0 p p ∈ Z q , svo að q q2 spannar ekki Q yfir Z. Ekki frjáls mótull, Lausn: ϕ : R → M, a → au, er átæk. I er kjarninn á ϕ, þá fæst skv. einsmótunarsetningu að Im(ϕ) ∼ = R/Ker(ϕ). Dæmi 48: Ekki svo flókið, bera saman við 44. Dæmi 49: Einfalt örvalti. 48. Dæmi 50: P og Q séu hlutmótlar í R-mótli M. Sýnið að til sé stutt fleyguð lest 0 → P ∩ Q → P × Q → P + Q → 0. Lausn: Jón gerði athugasemd að skilgreina ætti varpanirnar fyrst og taka fram að þær séu línulegar. Skýrum varpanirnar séð frá vinstri, ϕ1, ϕ2, ϕ3 og ϕ4, þ.e.a.s. 0 ϕ1 −→ P ∩ Q ϕ2 −→ P × Q ϕ3 −→ P + Q ϕ4 −→ 0 (a) Sýnum fyrst að lestin sé fleyguð í P ∩ Q. ϕ1 er augljóslega eintæk. Við þurfum að sýna að Imϕ1 = Kerϕ2. Skilgreinum vörpunina ϕ2 : P ∩ Q → P × Q, p → (p, −p). Vörpunin ϕ2 er eintæk, svo að Kerϕ2 = 0, þar með er lestin fleyguð í P ∩ Q. (b) Sýnum nú að lestin er fleyguð í P × Q. Vörpunin ϕ2 er eintæk. Skilgreinum vörpunina ϕ3 : P × Q → P + Q, (p, q) → p + q. Þá sést að Imϕ2 = Kerϕ3 og lestin er þá fleyguð í P × Q. (c) Sýnum að lestin er fleyguð í P + Q. ϕ3 er átæk, svo að Imϕ3 = P + Q og Kerϕ4 = P + Q, svo að lestin er fleyguð í P + Q. 49. Dæmi 51: P og Q séu hlutmótlar í R-mótli M. Sýnið að til sé stutt fleyguð lest Lausn: Athugum að 0 −→ M/(P ∩ Q) ϕ −→ (M/P ) × (M/Q) χ −→ M/(P + Q) −→ 0 er vel skilgreind línuleg vörpun. Athugum svo ϕ([x]P ∩Q) := ([x]P , [x]Q) χ([x]P , [y]Q) = [x − y]P +Q Þessi vörpun er líka línuleg, hægt að sjá það með því að skoða beinu summuna í stað krossfeldisins. Þá þarf að sýna að hún sé línuleg í hverju hniti fyrir sig með því að skoða ofanvörp á aðra deildamótla. ϕ er eintæk því ef bæði [x]P = [0]P og [x]Q = [0]Q þá er x ∈ P og y ∈ Q, þ.e. x ∈ P ∩ Q. χ er greinilega átæk. Ljóst er að χ ◦ ϕ = 0( sem þýðir að Im(ϕ) ⊆ Ker(χ)). Þá sé gefið ([x]P , [y]Q) ∈ Ker(χ), þ.e.a.s. x, y ∈ M þ.a. x − y ∈ P + Q skrifum x − y = u + v með u ∈ P og v ∈ Q. Þá er x − u = y + v og [x]P = [x − u]P og [y]Q = [y + v]Q svo ([x]P , [y]Q) = ([x − y]P , [y + v]Q) = ϕ([z]P ∩Q) ∈ Im(ϕ), þar sem z = x − u = y + v. 50. Dæmi 52: Í örvariti (sjá dæmablaði) af R-mótlum og R-línulegum vörpunum séu báðar línurnar fleygaðar. Sýnið Ef α1, α3 og χ1 eru eintækar þá er α2 líka eintæk. Ef α1, α3 og ϕ2 eru átækar þá er α2 líka átæk. Lausn: 11
Page 1 and 2: Lausnir á dæmum Algebru II Guðmu
Page 3 and 4: 9. 10. dæmi 10: p sé frumtala og
Page 5 and 6: fyrsta dálki sem er ekki 0, köllu
Page 7 and 8: 26. Dæmi 26: Sýnið að Z-mótull
Page 9: Lausn: Svipaðir útreikningar fyri
Page 13 and 14: S −1 M3 af S −1 R-mótlum sé
Page 15 and 16: 63. Dæmi 68: R sé víxlinn baugur
Page 17 and 18: 72. Dæmi 77: R sé víxlinn baugur
Page 19 and 20: 82. Dæmi 89: 83. Dæmi 91: R sé h
Page 21 and 22: yfir C. Við byrjum á að reikna

Lausnir á dæmum Algebru II

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?