Lausnir á dæmum Algebru II

yfir C. Við byrjum á að reikna út óbreyttu þætti fylkis A yfir K með því að koma fylkinu XI −A á
smith kórgerð yfir K[X]. A og B ámóta yfir K þýðir að til er andhverfanlegt fylki S yfir K þannig
að
SAS −1 = B
Þá má líka skoða.
92. Dæmi 102: Sýnið að Q ⊗Z Q ∼ = Q. Sýnið líka að (Z/nZ) ⊗Z Q = {0} fyrir sérhverja náttúrlega
tölu n > 0.
Lausn: Athugum að Z⊗Z Q ∼ = Q. Auðvelt er að fá mótanir í báðar áttir: Margföldunin Q×Q → Q
er tvílínuleg yfir Z og gefur því af sér línulega vörpun µ : Q ⊗Z Q → Q, x ⊗ y → xy. Svo er til
línuleg vörpun κ : Q → Q ⊗Z Q, y → 1 ⊗ y. Ljóst er að
fyrir öll y ∈ Q, svo
Svo að κ er hægri andhverfa µ. Athugum nú að
(µ ◦ κ)(y) = µ(1 ⊗ y) = 1 · y = y
µ ◦ κ = idQ
(κ ◦ µ)(x ⊗ y) = κ(xy) = 1 ⊗ xy
Svo spurningin er, gildir að 1 ⊗ xy = x ⊗ y? Augljóst er að µ er átæk, en ef við getum sannað
að hún sé eintæk, þá er dæmið komið, það er hinsvegar svoldið kraðak, þá þyrfti að sýna að ef
µ( n i=1 xi ⊗ yi) = 0 þá n i=1 xi ⊗ yi. En hinsvegar er nóg að skoða þetta fyrir tvö stök og gera
síðan restina með þrepun. Athugum nú
a1
b1
⊗ c1
+
d1
a2
⊗
b2
c2
=
d2
a1b2
⊗
b1b2
c1
+
d1
a2b1
⊗
b2b1
c2
d2
= a1b2( 1
⊗
b1b2
c1
) + a2b1(
d1
1
b2b1
= 1
⊗
b1b2
a1b2c1
+
c2
1
⊗
b1b2
a2b1c2
d2
= 1
⊗ (
b1b2
a1b2c1
c2
+ a2b1c1
)
c2
⊗ c2
)
d2
Með því að nota nú þrepun fæst að Q ⊗Z Q = {x ⊗ y|x, y ∈ Q}. Athugum nú að ef µ(x ⊗ y) = 0
þá er x = 0 eða y = 0, svo að x ⊗ y = 0 sem sýnir að µ er eintæk, svo að µ er þar með gagntæk.
, þá gildir
Sýnum nú hitt, gildir að 1 ⊗ xy = x ⊗ y? Látum x = a
b
1 ⊗ xy = 1 ⊗ ac
bd
= b ac
⊗
b bd
= b( 1 ac
⊗
b bd )
= 1 bac
⊗
b bd
= 1 ac
⊗
b d
= a( 1 c
⊗
b d )
= a c
⊗
b d
og y = c
d
93. Dæmi 103: K sé kroppur. Gefin sé eintæk K-línuleg vörpun ϕ : V1 → V2 og vigurrúm W yfir K.
Sýnið að K-línulega vörpunin ϕidW : V1 ⊗ W → V2 ⊗ W sé líka eintæk.
21