Lausnir á dæmum Algebru II

S −1 M3 af S −1 R-mótlum sé þá líka fleyguð.
Lausn: Látum nýju varpanirnar heita χ1 og χ2, þ.e.a.s.
S −1 M1
χ1
−→ S −1 M2
χ1
−→ S −1 M3.
Við þurfum að sýna að lestin sé fleyguð í S −1 M2, þ.e. Im(χ1) = Ker(χ2). Látum χ1 : S −1 M1 →
S −1 M2, x
s
→ ϕ1(x)
s
og χ2 : S −1 M2 → S −1 M3, x
s
χ2(χ1( u ϕ1(u)
)) = χ2( ) =
s s
ϕ2(ϕ2(u))
= 0
s
→ ϕ2(x)
s . Athugum að ef u ∈ M1 og s ∈ S þá er
þetta sýnir að Im(χ1) ⊆ Ker(χ2). Nú sé gefið x
s ∈ Ker(χ2). Þar sem x ∈ M2, s ∈ S. Þá er
semsagt χ2( x
ϕ2
s ) = 0, þ.e.a.s. s
semsagt ϕ2(tx) = 0, svo að tx ∈ Ker(ϕ2), svo að til er u ∈ M1 þannig að tx = ϕ1(u). En þá er
u = χ1( ) ∈ Im(χ1).
x
s
= tx
ts
= ϕ1(u)
ts
ts
= 0 = 0
1 , það þýðir að til er t ∈ S þannig að ϕ2(x) · t = 0,
55. Dæmi 57: I og J séu íðul í víxlnum baugi R-mótli. Sýnið að til sé fleyguð lest
0 → I ∩ J → R → (R/I) × (R/J) → R/(I + J) → 0
56. Dæmi 58(Snákslemmað): Í víxlnu örvariti (sjá dæmablaði) af R-mótlum og R-línulegum vörpunum
séu báðar línurnar fleygaðar.
57. Dæmi 59: Gefin sé stutt fleyguð lest
0 −→ N1
χ1 χ2
−→ N2 −→ N3 −→ 0
af R-mótlum og R-línulegum vörpunum. Gefin sé R-línuleg vörpun α3 : M3 → N3. Látum
M2 = {(x, y) ∈ M3 × N2|α3(x) = χ2(y)}. Sýnið að M2 passi inn í víxlið örvarit(sjá dæmablaði) af
R-mótlum og R-línulegum vörpunum þannig að efri línan sé líka stutt fleyguð lest.
Lausn:(Mín lausn)Þar sem örvaritið er víxlið, þá er idN1 ◦χ1 = ϕ1◦α2. Nú er idN1 ◦χ1 samskeyting
af eintækum R-línulegum vörpunum, og þar með einnig eintæk og þá er ϕ1 ◦ α2 líka eintæk. Látum
ϕ1 vera vörpunina ϕ1 : N1 → M2, x → (0, χ1(x)), sem er vel skilgreind og R-línuleg, og látum α2
vera vörpunina α2 : M2 → N2, (x, y) → y, sem er einnig vel skilgreind og R-línuleg. Látum ϕ2
vera vörpunina ϕ2 : M2 → M3, (x, y) → x. Nú passar M2 inn í þetta víxlna örvarit og við þurfum
að sýna að efri línan sé fleyguð. ϕ1 er greinilega eintæk og ϕ2 er greinilega átæk, þurfum að sýna
að Ker(ϕ2) = Im(ϕ1). Sjáum greinilega að Im(ϕ1) ⊂ Ker(ϕ2). Sýnum að ef við höfum gefið stak
(x, y) í Ker(ϕ2) þá sé það í Im(ϕ1). Þá gildir að α3(x) = 0 = χ2(y), en nú er α2 ofanvarp seinna
hnitsins í M2, en þau stök sem eru í kjarna χ2 eru einmitt þau stök sem eru í mynd ϕ1,(því að
ϕ1 : N1 → M2, x → (0, χ1(x))) svo að Ker(ϕ2) = Im(ϕ1).
58. Dæmi 60: M og N séu R-mótlar. Sýnið að vörpunin HomR(M, N) → HomR(N ∨ , M ∨ ), ϕ → ϕ ∨ ,
sé eintæk ef N er frjáls.
Lausn: Ef λ ∈ N ∨ , þ.e.a.s. λ : N → R línuleg, þá er ϕ ∨ (λ) = λ ◦ ϕ : M → R. Gerum ráð
fyrir að ϕ : M → N sé línuleg vörpun þannig að ϕ ∨ = 0. Sýna þarf að ϕ = 0. Gefið er að λ ◦ ϕ = 0
fyrir öll λ í N ∨ , þ.e.a.s. λ(ϕ(x)) = 0 fyrir öll λ í N ∨ og öll x ∈ M sýna þarf að ϕ(x) = 0 fyrir
öll x ∈ M. Látum (yj)j∈J vera grunn fyrir N. Gefið sé v ∈ N og skrifum v =
j∈J bjyj með
bj ∈ R, j ∈ J. Ef v = 0, þá er til l ∈ J þannig að bl = 0. Það þýðir að λ(v) = 0 þar sem λ : N → R
er hnitafall númer l.
59. Dæmi 61: gefin sé frumtala p. Látum Qp = {n/p k |n ∈ Z, k ∈ N0} eins og í verkefni 54. Sýnið
að Z-mótulinn Qp/Z sé ekki endanlega spannaður en sérhver eiginlegur hlutmótull sé spannaður af
einu staki.
Lausn: Einfalt að sjá að hann er ekki endanlega spannaður, með því að gera ráð fyrir því og
13