Lausnir á dæmum Algebru II

26. Dæmi 26: Sýnið að Z-mótullinn Q hafi engan háhlutmótul.
Lausn: Dæmi sett fyrir til að sýna að ekki er hægt að nota lemmu Zorn’s til að sýna hvað sem er.
Nota verkefnið á undan til að leysa.
27. Dæmi 27: M = {0} sé R mótull þannig að einu hlutmótlarnir í R séu {0} og M. Sýnið að
baugurinn EndR(M) sé deilibaugur.
Lausn: Sýnt er í bók að EndM (R) sé baugur. Sýna þarf að sérhvert stak í φ ∈ EndM (R) \ {0} hafi
margföldunarandhverfu, þ.e.a.s. þurfum að sýna að sérhver slík vörpun sé gagntæk. Við vitum að
þar sem φ er ekki núllvörpunin, þá er Im(φ) = {0} þá er φ átæk. Þá leiðir af því að Im(φ) = M,
því Im(φ) er hlutmótull. Fyrst φ = 0 þá er Ker(φ) = M þar sem Ker(φ) er hlutmótull í M Þá
leiðir af þessu að Ker(φ) = {0}. Svo φ er eintæk. Þar með er EndM (R) = {0} því idM = 0, því
M = {0}.
28. Dæmi 28: (Mi)i∈I sé fjölskylda af hlutmótlum í R-mótli M. Fyrir sérhver i og j í I sé til k í I
þannig að Mi ⊆ Mk og Mj ⊆ Mk. Sýnið að sammengið
i∈I Mi sé hlutmódull í M.
Lausn: Gerum ráð fyrir að I = ∅. Athugum að 0 er í sammenginu. Ef x ∈
i∈I Mi, segjum
x ∈ Mj og a ∈ R, þá er ax ∈ Mj og því ax ∈
i∈I Mi. Athugum nú ef x, y ∈
i∈I Mi, segjum
x ∈ Mj og y ∈ Mk þá má finna l ∈ I þannig að Mj, Mk ⊆ Ml, svo að x, y ∈ Ml og þá x + y ∈ Ml,
og þar með x + y ∈
i∈I Mi. Útaf þessu aukaskilyrði, þá er sammengið hlutmódull. Í Algebru II er
i∈I Mi minnsti hlutmódull sem inniheldur alla hlutmótlana, og er þar með spannaður af þeim.
29. Dæmi 29: N og P sé hlutmótlar í R-mótli M þannig að N ⊆ P . Sýnið að deildamótullinn
(M/N)/(P/N) sé einsmóta deildamótlinum M/P . (Við vitum að P/N er hlutmódull í M/N).
Lausn: Hér þarf fyrstu einsmótunarsetninguna fyrir R-mótla.
Setning 1. Ef ϕ : M → N er R-línuleg vörpun, þá er M/Ker(ϕ) einsmóta Im(ϕ).
Sönnun. Eina sem þarf að sýna er að einsmótunin sé R-línuleg. Formúlan er gefin með [x] Ker(ϕ) →
ϕ(x). Þá fæst að
a[x] Ker(ϕ) = [ax] Ker(ϕ) → ϕ(ax) = aϕ(x)
Notum samskeytinguna
M → M/N → (M/N)/(P/N)
af náttúrlegu ofanvörpunum. Hún er greinilega átæk og auðvelt er að sjá að kjarninn er P . Þá fæst
að M/P ∼ = (M/N)/(P/N).
30. Dæmi 30: N og P séu hlutmótlar í R-mótli M. Sýnið að deildamótullinn (N + P )/P sé einsmóta
deildamótlinum N/(N ∩ P ).
Lausn: Sjá lausn á verkefni 17.
31. Dæmi 31: N, P og Q séu hlutmótlar í R-mótli M. Sýnið að
(N ∩ P ) + (N ∩ Q) ⊆ (P + Q)
Sýnið svo með dæmi að þetta þarf ekki að vera jafnt.
Lausn: Dæmið er í byrjun á lausn næsta dæmis. Ef x = v + w með v ∈ N ∩ P og w ∈ N ∩ Q þá
er x ∈ N og x ∈ P + Q( og því x ∈ N ∩ (P + Q)). Þá vantar hina áttina. Í mengjafræði var notað
að A + B = A ∪ B og A · B = A ∩ B.
7