Lausnir á dæmum Algebru II

More documents

Recommendations

Info

32. Dæmi 32: N, P og Q séu hlutmótlar í R-mótli M þannig að Gefið sé að P ⊆ Q. Sýnið að P = Q. N + P = N + Q og N ∩ P = N ∩ Q Lausn: Athugum að ef gefið er að N + P = N + Q er eina skilyrðið þá getum við fundið mótdæmi í línulegri algebru þannig að P = Q, t.d. ef R = R og M = R 2 , þá getum við valið N sem x-ásinn og P og Q línu spannaðar af línulega óháðum vigrum. Athugum nú: Gefið sé að v ∈ Q, sýna þarf að v sé í P . Þar sem N + Q = N + P fæst að v = u + w með u ∈ N og w ∈ P . Þá fæst að u = v − w ∈ Q því v ∈ Q og w ∈ P ⊆ Q. Svo að u ∈ N ∩ Q. Vegna N ∩ Q = N ∩ P , fæst þá líka að u ∈ P og þar með að v = u + w ∈ P . Önnur lausn: Eða reiknum móduló N ∩ P = N ∩ Q. Notum ¯ til að tákna hluti módúló N t.d. ¯ N = N/(N ∩ P ). Þá fæst ¯ N ∩ ¯ P = ¯ N ∩ ¯ Q = {0}, og þá ¯ N + ¯ P = ¯ N ¯ P = ¯ M0. Síðan er hægt að búa til ofanvörp og nota einsmótunarsetninguna til að sýna þetta. 33. Dæmi 33: M1 og M2 sé hlutmótlar í R-mótli M þannig að M = M1 ⊕ M2 (innri bein summa). N1 sé hlutmótull í M1 og N2 hlutmótull í M2. Látum N = N1 + N2. Sýnið að N = N1 ⊕ N2 og að M/N ∼ = (M1/N1) ⊕ (M2/N2). Lausn: Augljóst að N1 ∩ N2 ⊆ M1 ∩ M2 = {0}. Svo að N1 ∩ N2 = {0}. Athugum nú með einsmótunina. Notum R-línulegu vörpunina og notum einsmótunarsetninguna. M → (M1/N1) ⊕ (M2/N2) x1 + x2 → ([x1]N1 , [x2]N2 ) ef x1 ∈ M1, x2 ∈ M2 34. Dæmi 34: (ϕi : Mi → Ni)i∈I sé fjölskylda af R-línulegum vörpunum. Við skilgreinum vörpunina ϕ : i∈I Mi → i∈I Ni með formúlunni ϕ((xi)i∈I) = (ϕi(xi))i∈I Sýnið að ϕ sé vel skilgreind og R-línuleg. (ϕ er oft táknuð i∈I ϕi). Lausn: Vörpun ϕ : M → N er eitthvað sem úthlutar sérhverju staki í x ∈ M eitthvað ákveðið stak í ϕ(x) ∈ N. Við þurfum að sýna að vörpunin sé vel skilgreind. Eina vandmálið er hvort (ϕi(xi))i∈I ∈ i∈I Ni. En það fæst af því að φi(0) = 0, svo að ef (xi)i∈I hefur endanlega stoð þá hefur (ϕi(xi))i∈I líka endanlega stoð. Athugum nú hvort ϕ sé R-línuleg. ϕ((xi)i∈I + (yi)i∈I) = ϕ((xi + yi)i∈I) Sama þarf að gera með margföldun með skalar. = (ϕi(xi + yi)i∈I) = (ϕi(xi) + ϕi(yi))i∈I = (ϕi(xi))i∈I + (ϕi(yi))i∈I = ϕ((xi)i∈I) + ϕ((yi)i∈I) 35. Dæmi 35: Notum áfram forsendurnar og táknmálið í Verkefni 34. Sýnið Ker(ϕ) = Ker(ϕi) og Im(ϕ) = Im(ϕi) i∈I 8 i∈I
Lausn: Svipaðir útreikningar fyrir myndina. ϕ((xi)i∈I) = 0 = (0)i∈i ⇔ (ϕ(xi))i∈I = (0)i∈I ⇔ ϕ(xi) = 0, ∀i ∈ I ⇔ xi ∈ Ker(ϕi), ∀i ∈ I ⇔ (xi)i∈I ∈ Ker(ϕi) 36. Verkefni 36: ϕ og χ séu ofanvörp á R-mótli M, þ.e.a.s. sjálfvalda stök í EndR(M). Sýnið: ... Þarf bara að nota að þetta séu sjálfvalda stök fyrir hægri áttina, hin áttin sýnir maður að Im(ϕ) ⊆ Im(χ). 37. Dæmi 37: N, P og Q séu hlutmótlar í R-mótli M. Sýnið að ef Q ⊆ N. i∈I (N ∩ P ) + Q = N ∩ (P + Q) Lausn: Nú er N ∩ Q = Q, svo að skv. V.31 fæst að (N ∩ P ) + Q ⊆ N ∩ (P + Q) Nú sé x ∈ N ∩ (P + Q), sem sagt x ∈ N og x ∈ P + Q. Skrifum x = u + v með u ∈ P og v ∈ Q. Þar sem Q ⊆ N þá er v ∈ N og þar með u = x − v ∈ N. Svo u ∈ N ∩ P . Þar með sést að x = u + v ∈ (N ∩ P ) + Q. 38. Dæmi 38: M sé R-mótull og ϕ : M → M sé R-línuleg vörpun. Sýnið að M = Ker(ϕ) + Im(ϕ) þá og því aðeins að Im(ϕ ◦ ϕ) = Im(ϕ). Lausn: Athugum að M = Im(ϕ) ⊕ Ker(ϕ) er jafngilt ϕ ◦ ϕ = ϕ. Fyrst sé gefið að M = Im(ϕ) ⊕ Ker(ϕ). Ljóst er að Im(ϕ ◦ ϕ) ⊆ Im(ϕ). Gefið sé y ∈ Im(ϕ), setjum y = ϕ(x) með x ∈ M. Skrifum x = u + v, með u ∈ Ker(ϕ) og v ∈ Im(ϕ), setjum v = ϕ(w) með w ∈ M. Þá fæst y = ϕ(x) = ϕ(u) + ϕ(v) = 0 + ϕ(ϕ(w)) = (ϕ ◦ ϕ)(w). Svo y ∈ Im(ϕ ◦ ϕ). Nú sé gefið að Im(ϕ ◦ ϕ) = Im(ϕ). Gefið sé x ∈ M. Samkvæmt forsendu er þá til w ∈ M, þannig að ϕ(x) = ϕ(ϕ(w)). Látum u = x−ϕ(w). Þá er φ(u) = ϕ(x)−ϕ(ϕ(w)) = 0, svo u ∈ Ker(ϕ). Af þessu fæst að x = u+ϕ(w) ∈ Ker(ϕ)+Im(ϕ). Þetta sýnir að M = Ker(ϕ)+Im(ϕ). 39. Dæmi 39: ϕ : M → N sé R-línuleg vörpun. Sýnið að til sé R-línuleg vörpun χ : N → M þannig að ϕ ◦ χ ◦ ϕ = ϕ þá og því aðeins að Ker(ϕ) hafi fyllimótul í M og Im(ϕ) hafi fyllimótul í N. Lausn: Athugum að χ ◦ ϕ ◦ χϕ = χ ◦ ϕ Athugum þá að χ ◦ ϕ er ofanvarp í M. Einnig fæst að ϕ ◦ χ ◦ ϕ ◦ χ = ϕ ◦ χ Þar með er ϕ ◦ χ ofanvarp í N. Nú vitum við að M = Ker(ϕ) ⊕ P , hvaða P ? Er Im(χ) möguleiki? Prófum: Gefið sé x ∈ M. Þá er ϕ(x) = ϕ(χ(ϕ(x))), svo að ϕ(x − χ(ϕ(x))) = 0, þ.e.a.s. ef u = x − χ(ϕ(x)) þá er u ∈ Ker(ϕ). Auk þess er þá x = u + χ(ϕ(x)) ∈ Ker(ϕ) + Im(χ ◦ ϕ) Prófum að taka P = Im(χ ◦ ϕ). Ef x ∈ Ker(ϕ) ∩ Im(χ ◦ ϕ) setjum við x = (χ(ϕ(x ′ ))) þá fæst 0 = ϕ(x) = ϕ(χ(ϕ(x ′ ))) = ϕ(x ′ ) svo x = χ(ϕ(x ′ )) = 0. Verður klárað seinna. 9
Page 1 and 2: Lausnir á dæmum Algebru II Guðmu
Page 3 and 4: 9. 10. dæmi 10: p sé frumtala og
Page 5 and 6: fyrsta dálki sem er ekki 0, köllu
Page 7: 26. Dæmi 26: Sýnið að Z-mótull
Page 11 and 12: 46. Dæmi 46: Skoðum Q sem Z-mótu
Page 13 and 14: S −1 M3 af S −1 R-mótlum sé
Page 15 and 16: 63. Dæmi 68: R sé víxlinn baugur
Page 17 and 18: 72. Dæmi 77: R sé víxlinn baugur
Page 19 and 20: 82. Dæmi 89: 83. Dæmi 91: R sé h
Page 21 and 22: yfir C. Við byrjum á að reikna

Lausnir á dæmum Algebru II

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?