Lausnir á dæmum Algebru II

(a) Látum x ∈ Ker α2. Þá er α3(ϕ2(x)) = χ2(α2(x)) = 0, þar sem α3 er eintæk er ϕ2(x) = 0, svo
að x ∈ Ker ϕ2 og þar með í Im ϕ1, þá er til stak y í M1 þannig að ϕ1(y) = x. Nú gildir að
0 = α2(x) = α2(ϕ1(y)) = χ1(α1(y)).
Nú eru χ1 og α1 eintækar, svo að y = 0 og þar með er einnig x = 0. Þá er Ker α2 = 0 og þar
með er α2 eintæk.
(b) Látum y ∈ N2. Þar sem α3 er átæk er til stak u ∈ M3 þannig að α3(u) = χ2(y). Nú er ϕ2
átæk, svo að til er stak v í M2 þannig að u = ϕ2(v). Setjum nú z = α2(v), þá er
χ2(z) = χ2(α2(v)) = α3(ϕ2(v)) = α3(z) = χ2(y)
svo að y − z ∈ Ker χ2 = Im χ1. Þá er til stak t ∈ N1 þannig að χ1(t) = y − z og þar sem α1 er
átæk er er til stak r ∈ M1, þannig að α1(r) = t. Þá er α2(ϕ1(r)) = χ1(α1(r)) = χ1(t) = y − z.
Setjum nú x := v + ϕ1(r). Þá er
og þar með er vörpuniin α3 átæk.
α2(x) = α2(v) + α2(ϕ1(r)) = z + (y − z) = y
athugasemd: Mér sýnist einnig vera hægt að sýna fyrri liðinn með því að sýna að ef α2 er ekki
eintæk, þá sé a.m.k. ein af vörpununum α1, α3 og χ1 ekki eintæk.
51. Dæmi 53:Sjá dæmablaði.
Lausn: Gerum ráð fyrir að seinni tveir dálkarnir séu fleygaðir. z1 ∈ P1 gefið. Þar sem β2 er
átæk, þá er til y2 ∈ N2 þannig að β2(y2) = ψ1(z1), þá er... örvaelti
52. Dæmi 54: Gefin sé frumtala p. Látum Qp = {n/p k |n ∈ Z, k ∈ N0}. Þá er Qp hlutgrúpa í Q með
tilliti til samlagningar Z ⊆ Qp. Sýnið að ekki er hægt að skrifa Z-mótulinn Qp/Z sem (innri) beina
summu tveggja hlutmótla, sem hvorugur er núllmótull.
Lausn: Gerum ráð fyrir að Qp/Z = M ⊕ N, þannig að hvorki M né N séu núllmótlar. Velj-
um stak 0 = [ x
pk ] ∈ M og 0 = [ y
pk ∈ N] gerum ráð fyrir að x
pk og y
pl séu fullstytt brot. Þá er
y[ x
pk ] = [ yx
pk ] ∈ M og x[ y
pl ] = [ xy
pl ] ∈ N og hvorugt er 0. Ef l ≥ k fæst
Þetta er mótsögn.
53. Dæmi 55:(sjá dæmablaði)
p l−k [ xy
] = [xy ] ∈ N ∩ M
pl pk Lausn: Athugum að π 2 i = πi er ofanvarp, ef það gildir, þá er M = Im(π) ⊕ Ker(π). Athugum
nú ef x ∈ M, þá gildir að
x = idM (x) = (π1 + · · · + πk)(x) = π1(x) + · · · + πk(x)
Þetta sýnir að M = Im(π1) + · · · + Im(πk). Öfugt: gefið sé að x = π1(y1) + · · · + πk(yk), fyrir hvert
i fæst þá
Svo að summan er ótvírætt ákvörðuð.
πi(x) = πi(π1(y1)) + · · · + πi(πk(yk))
= πi(πi(yk)) = yk
54. Dæmi 56: R sé víxlinn baugur og S margfeldið hlutmengi í R. R-línuleg vörpun ϕ : M → N
gefur þá af sér S−1R-línulega vörpun S−1M → S−1N, x ϕ(x)
s → s .
ϕ1 ϕ2
Nú sé M1 −→ M2 −→ M3 fleyguð lest af R-mótlum. Sýnið að tilheyrandi lest S−1M1 → S−1M2 →
12