α - ХПІ - Національний Ñ‚ÐµÑ Ð½Ñ–Ñ‡Ð½Ð¸Ð¹ університет

O
f x,
y
M
M
h k x
h l y
f xk
, y
f x,
yl
k 1 l 1
M M
hk
xh l y
f xk
, yl
k 1 l1
точно її відновлює, тобто
за умов
O[ f ( x, y)] f ( x, y)
,
h ( x) h ( x) h ( x) 1 ,
1 2
де допоміжні функції h ( x), h ( y ) є поліномами з властивостями
k
h x
l
k ( p ) k,
p , hl yq l,
q
M
( ) , k, p, l, q 1, M .
, (1)
Доведення. Прологарифмуємо обидві частини формули (1). В результаті
отримаємо:
ln O f xk
, yl
M M M M
h x ln f x , y h y ln f x, y h x h y ln f x , y
k k l l k l k l
k 1 l1 k 1 l1
M M M M
h k x
h l y
h k xhl
y
ln f xk , y
ln f x, yl ln f xk , yl
k 1 l1 k 1 l 1
M M M M
ln , , ,
k 1 l1 k 1 l1
hk x hl y hk x hl
y
f xk y f x yl f xk yl
.
Враховуючи властивості hk ( xp ) k,
p ,
hl yq l,
q
( ) , можна довести,
що оператор ln O[ f ( x , y )] є оператором інтерлінації функції ln f ( x, y)
на
k
l
вказаній системі взаємно перпендикулярних прямих, тобто
ln O f xk
, y ln f xk
, y
, k 1, M ; ln O f x, yl
ln f x,
yl
, l 1, M .
Для таких операторів інтерлінації в роботі [3] (теорема 3.2.1) доведено,
що вони є точними на всіх функціях, які задовольняють диференціальне рівняння
Тому, враховуючи, що для функції f ( x, y)
x
1
y
2
виконується рівність
p1
p2
ln O f x,
y 0, 1 p1 , p
p
2 M
1 p .
x y
2
b1 b
ln ( , ) ln
2
ln
1 ln 2 ln
f x y x y b x b y ,
b
b
ISSN 2222-0631. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. №54 (960). 15