α - ХПІ - Національний Ñ‚ÐµÑ Ð½Ñ–Ñ‡Ð½Ð¸Ð¹ університет

с учётом векторного равенства (8) можно преобразовать к такому виду:
dk / dPk k / Pk [ k / P1 ... k 1 / Pn
]
1 *
k 1 k 1 1 k k 1
k
[[ E ] [ J ]] [ / P ... / P ] ,
где [ Jk
1]
– матрица i
/ Pj
размера [( k 1) ( k 1)] , которая является
якобианом для преобразования усечённого набора координат { P1 , ... , Pk
1}
по
формулам (8); [ Ek
1]
– единичная матрица того же размера.
Если в этом выражении использовать формулу для элементов обратной
1 s
матрицы [ A] [ A] / det[ A]
, где [ A ] s – союзная матрица, то условие (9)
удаётся записать в виде следующего соотношения для определителей:
0 det[[ E ] [ J ]] det[[ E ] [ J ]] , (10)
k 1 k 1
k k
то есть
все такие определители должны быть положительны,
с ростом k их величина должна возрастать.
Эти условия будут заведомо выполнены, если все главные миноры матрицы
[ ] неотрицательны, то есть
J n
i
1 1
,..., il
J n i ,... il
0 для всех наборов { i 1 ,..., i l }. (11)
Заметим, что определитель матрицы [ J n ] является якобианом для преобразования
координат вектора P по формуле (7). Каждому главному минору
этой матрицы соответствует некоторый главный минор матрицы
V t FT
Q FK t / 2 FH
T
1
( / 2 ) 0
S ,(12)
1
0 ( M t / 2 Z ) FK
0
получающейся в результате линеаризации системы уравнений (5),(6).
Матрицы [ Q]
и [ FH ] составляются из частных производных вектор -
функции Q( H, P):
Q Q / P f ( H) / (2 P P );
ij i j ij i j
FH Q / h
f ( h ,..., h ) / h s( P P ),
ik i k 1 m k i j
j
причём матрица [ Q ] является положительно определённой. Таким же свойством
обладают диагональные матрицы [ FT ] и [ Z ] .
Первый сомножитель в формуле (12) представляет собой диагональную
положительно определенную матрицу и на знак миноров не влияет. Поэтому
условие (11) оказывается эквивалентным требованию неотрицательности
ISSN 2222-0631. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. №54 (960) 45