α - ХПІ - Національний Ñ‚ÐµÑ Ð½Ñ–Ñ‡Ð½Ð¸Ð¹ університет

тріщини у нормальному напрямку описується за допомогою скалярної функції
проникнення g , яка задана для пари точок на контактуючих поверхнях,
N
таких що точка x + є найближчою до точки x − :
g N x n g u u n
, (2)
де X
X
n
0
x 0
g початкове значення функції та n + одинична зовнішня
нормаль до поверхні контакту, яка є відновлена з x + .
Аналогічно, відносний рух контактуючих поверхонь у горизонтальному
напрямку визначається вектор-функцією g T , тобто проекцією вектора
x
x на одиничні вектори a , 1, 2 , які тангенціальні до поверхні контакту
у точці контакту і такі, що визначають тангенціальний напрямок руху:
x
x
a
a
X
X
a
u
u
a
g T
a
(3)
Для того, щоб знайти траєкторію руху поверхонь одній по другій в умовах
тертя ковзання, швидкість тангенціальної функція g T визначається співвідношенням
[4]:
L g v v a a , (5)
T
де L позначає похідну Лі вектора-функції по напряму вектора швидкості
тангенціального руху.
Контактний тиск t c поміж поверхнями в розглянутій точці контакту
може бути розкладений на нормальну t N та тангенціальну t T складові, такі
що
t
N t N n і tT
I
n n
tc
, (6)
де t N визначає значення нормального контактного тиску.
Використовуючи введені позначення, умови непроникності берегів тріщини
записуються у формі критерію Куна-Такера як наступні:
t 0 , g 0 та t 0
(7)
N
N
N g N
У випадку тангенціального контакту функція g T ненульова лише в ситуації
ковзання, яке асоціюється з явищем тертя. Уживаючи закон тертя Кулона
у формі аналогічній теорії пластичності [3], умови злипання і ковзання
берегів тріщини набувають вигляду нерівностей:
t T , t N tT
t N 0 , L gT
tT
tT
, 0 , 0 (8)
Отже, стан інтерфейсу поміж берегами тріщини визначається нерівностями
(7) і (8), котрі створюють додаткові умови щодо рішення системи (1).
Неявна схема інтегрування за часом. Матричне рівняння (1) є системою
нелінійних диференціальних рівнянь, яка, в загальному випадку, для
знаходження невідомих переміщень вимагає використання інкрементально-
ISSN 2222-0631. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. №54 (960). 21