3. Nelinearni sistemi

More documents

Recommendations

Info

Kvazi–Newtonove metode Posebno pri velikih n imamo pri Newtonovi metodi veliko dela. Če je Jacobijeva matrika polna, potem moramo v vsakem koraku najprej izračunati n 2 parcialnih odvodov, potem pa še rešiti sistem z matriko n × n, za kar potrebujemo O(n 3 ) operacij. Zaradi tega in pa tudi ker ne poznamo nujno parcialnih odvodov, bi radi tudi tukaj žrtvovali nekaj konvergence za računanje brez parcialnih odvodov, podobno kot pri sekantni metodi. V ta namen obstaja mnogo kvazi–Newtonovih metod, ki ne uporabljajo parcialnih odvodov. Najbolj znana je Broydenova metoda. Kadar imamo velik n in je Jacobijeva matrika razpršena, potem se za reševanje linearnega sistema s to matriko ne splača uporabljati direktnih metod. Uporabljamo iterativne metode, kar pomeni, da v vsakem koraku namesto točnega popravka izračunamo le približek za popravek. Tovrstne metode so t.i. netočne Newtonove metode, primer je kombinacija Newtonove metode in metode GMRES. Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004
Broydenova metoda Naj bo B r približek za JF (x (r) ). En korak kvazi–Newtonove metode je a) reši B r ∆x (r) = −F (x (r) ), b) x (r+1) = x (r) + ∆x (r) , c) določi B r+1 za naslednji korak. Pri Broydenovi metodi za B r+1 vzamemo najbližjo matriko B r , ki zadošča t.i. sekantnemu pogoju B r+1 (x (r+1) − x (r) ) = F (x (r+1) ) − F (x (r) ). Rešitev je B r+1 = B r + F (x(r) )(∆x (r) ) T (∆x (r) ) T ∆x (r) . Na začetku za B 0 vzamemo čim boljšo aproksimacijo za JF (x (0) ), v najslabšem primeru pa kar I. Število operacij lahko zmanjšamo, če namesto direktnega posodabljanja B r posodobimo faktorizacijo, ki jo uporabljamo za reševanje sistema v točki a). Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004
Page 1 and 2: 3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
Page 3 and 4: 3.2 Navadna oz. Jacobijeva iteracij
Page 5 and 6: Konvergenca navadne iteracije za si
Page 7 and 8: Testni primer Za testni primer imam
Page 9 and 10: 3.3 Newtonova metoda Izpeljava Newt
Page 11 and 12: Newtonova metoda in testni primer Z
Page 13: Zgled uporabe Kantorovičevega izre
Page 17 and 18: Prevedba reševanja nelinearnega si
Page 19 and 20: Izbira smeri Za izbiro smeri imamo
Page 21 and 22: c) metoda paraboličnega spusta: na
Page 23 and 24: Uporabne formule Če rešujemo neli
Page 25 and 26: 3.5 Reševanje nelinearnih enačb v
Page 27 and 28: Metoda zveznega nadaljevanja in dif

3. Nelinearni sistemi

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?