15. Metoda konÄnih elementov in reÅ¡evanje BDE in PDE v Matlabu

11.6 Metoda končnih elementov 

Obravnavali bomo PDE oblike 

( 

∂ 

p(x, y) ∂u ) 

+ ∂ 

∂x ∂x ∂y 

( 

q(x, y) ∂u ) 

+ r(x, y)u(x, y) = f(x, y), 

∂y 

kjer je (x, y) ∈ Ω in je Ω območje v ravnini z robom S. Rob naj bo razdeljen na dva 

dela, S 1 in S 2 . Na delu S 1 imamo robni pogoj oblike u(x, y) = g(x, y), na delu S 2 pa 

mora rešitev zadoščati 

p(x, y) ∂u 

∂x (x, y) cos ϕ 1 + q(x, y) ∂u 

∂x (x, y) cos ϕ 2 + g 1 (x, y)u(x, y) = g 2 (x, y), 

kjer sta ϕ 1 in ϕ 2 kota zunanje normale v točki (x, y) ∈ S. 

S 

ϕ 2 

ϕ 1 

Bor Plestenjak - Numerična analiza 2005/06

Minimiziranje funkcionala 

Denimo, da sta p, q enkrat zvezno odvedljivi, da sta r, d zvezni na Ω in da velja 

p(x, y) > 0, q(x, y) > 0, r(x, y) ≤ 0 in g 1 (x, y) > 0. Potem rešitev podane PDE 

minizira funkcional 

∫∫ [ ( ) 

1 

∂w 2 ( ) ∂w 2 

] 

I(w) = p(x, y) + q(x, y) − r(x, y)ω 2 dxdy 

2 

∂x 

∂x 

∫∫ 

+ 

Ω 

Ω 

f(x, y)wdxdy + 

[−g 2 (x, y)w + 

∫S 1 ] 

2 

2 g 1(x, y)w 2 dS 

po vseh funkcijah w, ki so dvakrat zvezno odvedljive in zadoščajo robnemu pogoju na S 1 . 

Pri metodi končnih elementov iščemo aproksimacijo za rešitev tako, da minimiziramo 

funkcional I po končno dimenzionalnem razredu funkcij, podobno kot Rayleigh-Ritzova 

metoda za robne probleme. 


Triangulacija 

Prvi korak v metodi končnih elementov je razdelitev območja na končno število manjših 

odsekov oz. elementov pravilnih oblik. Tu se uporabljajo bodisi trikotniki ali pa pravokotniki. 

y 

S 

x 

Denimo, da smo razdelili območje s trikotnimi elementi v regularno mrežo, kar pomeni, da 

se dva trikotnika lahko dotikata le v eni točki, vzdolž celotne stranice ali pa nikjer. 


Aproksimacija 

Razred funkcij s katerimi aproksimiramo rešitev, je množica odsekoma polinomskih funkcij 

omejene stopnje v x in y. Polinomi iz različnih elementov morajo biti združeni tako, da bo 

zlepek zvezen in da bosta njegov prvi in drugi odvod integrabilna ali zvezna na celotnem 

območju. V primeru trikotnih elementov se ponavadi uporabljajo linearni polinomi oblike 

za pravokotnike pa bilinearni polinomi 

φ(x, y) = a + bx + cy, 

φ(x, y) = a + bx + cy + dxy. 

Denimo, da smo razdelili območje s trikotno regularno mrežo. Potem iščemo aproksimacijo 

oblike 

m∑ 

φ(x, y) = γ i φ i (x, y), 

i=1 

kjer so φ 1 , φ 2 , . . . , φ m linearno neodvisni kosoma linearni polinomi. Nekatere izmed 

konstant γ 1 , . . . , γ m (denimo γ n+1 , . . . , γ m ) so že določene z robnimi pogoji, preostale 

parametre γ 1 , . . . , γ n pa porabimo za to, da minimiziramo funkcional I. 


Bazne funkcije 

Točke v triangulacijski mreži označimo z v 1 do v m . Za bazne funkcije vzamemo kosoma 

linearne polinome φ 1 , . . . , φ m . Vsak φ i je zlepek linearnih polinomov, ki ima v točki v i 

vrednost 1, v vseh drugih točkah mreže pa ima vrednost 0. 

Če mrežo sestavljajo trikotniki T 1 , . . . , T k , potem ima φ i na vsakem T j obliko 

φ i (x, y) = φ ij (x, y) = a ij + b ij x + c ij y. 

Torej je φ i neničelen le na tistih trikotnikih T i , ki imajo v i za oglišče. 

1 

v i 


Bazne funkcije 

Denimo, da je trikotnik T k sestavljen iz točk v 1 , v 2 in v 3 . Iščemo koeficiente polinoma 

φ 1k (x, y) = a 1k + b 1k x + c 1k y, 

za katerega naj velja φ 1k (v 1 ) = 1 in φ 1k (v 2 ) = φ 1k (v 3 ) = 0. Dobimo jih iz linearnega 

sistema 

⎡ 

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 

1 x 1 y 1 a 1k 1 

⎣ 1 x 2 y 2 

⎦ ⎣ b 1k 

⎦ = ⎣ 0 ⎦ . 

1 x 3 y 3 c 1k 0 


Ko v funkcional I vstavimo φ(x, y) = 

= 

Aproksimacija 

m∑ 

γ i φ i (x, y), dobimo 

i=1 

I(φ) = I 

[ 

∑ m 

] 

γ i φ i 

i=1 

⎛ ⎧ 

∫∫ 

⎝ 1 [ 

⎨ 

m 

] 2 [ 

Ω 2 ⎩ p(x, y) ∑ 

m 

] 2 

∂φ i 

γ i 

∂x (x, y) ∑ ∂φ i 

+ q(x, y) γ i 

∂y (x, y) i=1 

i=1 

[ m 

] ⎫ 2 

⎞ 

∑ 

⎬ m 

−r(x, y) γ i φ i (x, y) 

⎭ + f(x, y) ∑ 

γ i φ i (x, y) ⎠ dydx 

i=1 

⎧ 

∫ ⎨ 

+ 

S 2 

⎩ −g 2(x, y) 

i=1 

m∑ 

γ i φ i (x, y) + 1 [ ⎫ 

m 2 

2 g ∑ 

⎬ 

1(x, y) γ i φ i (x, y)] 

⎭ dS. 

i=1 

Minimum bo dosežen, ko bodo vsi parcialni odvodi I(φ) po γ 1 , . . . , γ n enaki 0. 

i=1 


Linearni sistem 

Iz enačb ∂I 

∂γ k 

(φ) = 0 za k = 1, . . . , n dobimo linearni sistem 

kjer je 

za elemente A = [α ij ] in b = [β i ] pa velja 

α ij = 

∫∫ 

Ω 

Ac = b, 

c = [γ 1 · · · γ n ] T , 

[ 

p(x, y) ∂φ i 

∂x (x, y)∂φ j 

∂x (x, y) + q(x, y)∂φ i 

∂y (x, y)∂φ j 

∂y 

(x, y) 

] ∫ 

−r(x, y)φ i (x, y)φ j (x, y) dxdy + g 1 (x, y)φ i (x, y)φ j (x, y)dS 

S 2 

za i, j = 1, . . . , n in 

∫∫ 

β i = − 

Ω 

f(x, y)φ i (x, y)dxdy + 

∫ 

S 2 

g 2 (x, y)φ i (x, y)dS − 

m∑ 

k=n+1 

α ik γ k . 


Poenostavitev 

Integrale je potrebno računati le po tistih trikotnikih, kjer so bazne funkcije neničelne. To 

pa pomeni, da so v matriki A neničelni le tisti elementi α ij za katere velja, da točki v i in 

v j ležita v istem trikotniku T k . Če je i ≠ j, se potem npr. izračun 

I = 

∫∫ 

Ω 

p(x, y) ∂φ i 

∂x (x, y)∂φ j 

(x, y)dxdy 

∂x 

spremeni v 

I = 

∫∫ 

T k 

p(x, y)b ik b jk dxdy, 

v primeru i = j pa dobimo 

I = 

∑ ∫∫ 

k, v i ∈T k 

T k 

p(x, y)b 2 ik dxdy. 


11.7 Reševanje robnih problemov in PDE v Matlabu 

V Matlabu imamo naslednja orodja za reševanje robnih problemov in parcialnih diferencialnih 

enačb: 

• za robne probleme imamo metodo bvp4c, ki uporablja kolokacijsko metodo, 

• za eliptične PDE imamo nekaj funkcij, ki nam olajšajo uporabo metode končnih diferenc, 

• za parabolično-eliptične PDE imamo metodo pdepe, ki uporablja integracijo po časovnih 

nivojih, 

• za splošne PDE imamo dodaten paket Partial Differential Equation Toolbox, ki uporablja 

metodo končnih elementov in kjer imamo med drugim grafično orodje pdetool. 


11.7.1 Reševanje robnih problemov z bvp4c 

Rešujemo robne probleme, ki jih zapišemo v obliki 

d 

y(x) = f(x, y(x), p), g(y(a), y(b), p) = 0. 

dx 

Tu je y(x) vektor, f je podana funkcija x in y, ki opisuje diferencialno enačbo. Vektor p je 

neobvezen in opisuje neznane parametre, ki jih iščemo. Rešitev iščemo na intervalu [a, b], 

s funkcijo g pa podamo robne pogoje. Metoda bvp4c potrebuje tudi začetni približek za 

rešitev y(x). 

Oblika za klic bvp4c je sol=bvp4c(@odefun,@bcfun,solinit,options), pri čemer: 

• funkcija odefun poda diferencialno enačbo, oblika je yodv = odefun(x,y); 

• funkcija bcfun poda robne pogoje (vrne ostanek, ki mora biti pri izpolnjenih pogojih 0), 

oblika je res = bcfun(ya,yb); 

• solinit je struktura, s katero podamo začetni približek, strukturo zgradimo s pomožno 

funkcijo bvpinit kot solinit = bvpinit(linspace(a,b,n),@initf), kjer je initf 

funkcija oblike y = initf(x), s katero podamo robne pogoje; 

• options je neobvezen argument, kjer lahko nastavimo delovanje metode, za nastavitve 

uporabimo metodo bvpset. 


Zgled 1 za bvp4c 

Presek oblike kapljice vode na ravni podlagi je podan z rešitvijo robnega problema 

u ′′ (x) + (1 − u(x))(1 + u ′ (x) 2 ) 3/2 = 0, u(−1) = 0, u(1) = 0. 

Za uporabo bvp4c to spremenimo v sistem enačb prvega reda: 

y ′ 1 (x) = y 2(x), 

y ′ 2 (x) = (y 1(x) − 1)(1 + y 2 (x) 2 ) 3/2 , 

Za začetni približek vzamemo y 1 (x) = √ 1 − x 2 in y 2 (x) = −x/(0.1 + √ 1 − x 2 ). Zapišemo 

function yodv = kaplja(x,y) 

yodv = [ y(2); (y(1)-1)*((1+y(2)^2)^(3/2)) ]; 

function res = kapljarp(ya,yb) 

res = [ ya(1); yb(1) ]; 

function y = kapljainit(x) 

y = [ sqrt(1-x^2); -x/(0.1+sqrt(1+x^2)) ]; 

resinit = bvpinit(linspace(-1,1,20), @kapljainit); 

res = bvp4c(@kaplja, @kapljarp, resinit); 

plot(res.x, res.y(1,:)) 



Iščemo lastno vrednost λ, pri kateri ima robni problem 

y ′′ (x) + (λ − 10 cos(2x))y(x) = 0, y ′ (π) = 0, y ′ (0) = 0 

neničelno rešitev. Ker lahko vsako tako rešitev pomnožimo s poljubnim skalarjem, dodamo še tretji pogoj, 

npr. y(0) = 1. Podobno kot v prejšnjem primeru to spremenimo v sistem enačb prvega reda: 

y ′ 1 (x) = y 2(x), 

y ′ 2 (x) = (10 cos(2x) − λ)y 1(x). 

Za začetni približek vzamemo y(x) = cos(4x) in λ = 15. Zapišemo 

function yodv = mth(x,y,lambda) 

yodv = [ y(2); (10*cos(2*x)- lambda)*y(1) ]; 

function res = mthrp(ya,yb,lambda) 

res = [ ya(2); yb(2); ya(1)-1 ]; 

function y = mthinit(x) 

y = [ cos(4*x); -4*sin(4*x) ]; 

resinit = bvpinit(linspace(0,pi,10), @mthinit, 15); 

res = bvp4c(@mth, @mthrp, resinit); 

fprintf(’Lastna vrednost je %7.3f.\n’, res.parameters) 

plot(res.x, res.y(1,:)) 



Naslednje enačbe opisujejo pretok v dolgem navpičnem kanalu, kjer je tekočina vbrizgana skozi eno izmed 

stranic: 

f ′′′ [ 

− R (f ′ ) 2 − ff ′′] + RA = 0, 

h ′′ + Rfh ′ + 1 = 0, 

θ ′′ + P fθ ′ = 0, 

pri čemer je R Raynoldsovo število in P = 0.7R. Ker parameter A spada med neznanke, imamo 8 robnih 

pogojev: 

f(0) = f ′ (0) = 0, f(1) = 1, f ′ (1) = 0, 

h(0) = h(1) = 0, 

θ(0) = 0, θ(1) = 1. 

Problem bi radi rešili pri R = 10000, vendar nimamo nobenih dobrih začetnih približkov. Zato uporabimo 

metodo zveznega nadaljevanja. 

približek za R = 1000, tega pa za R = 10000. 

Najprej problem rešimo za R = 100, potem to uporabimo kot začetni 


function demopretok 

Matlab implementacija za zgled 3 

R = 100; resinit = bvpinit(linspace(0,1,10), ones(7,1), 1); 

res1 = bvp4c(@pretok, @pretokbc, resinit); 

fprintf(’Parameter A pri R=100 : %7.4f\n’,res1.parameters) 

R = 1000; res2 = bvp4c(@pretok, @pretokbc, res1); 


R = 10000; res3 = bvp4c(@pretok, @pretokbc, res2); 


plot(res1.x, res1.y(2,:), res2.x, res2.y(2,:), res3.x, res3.y(2,:)); 

end 

function yodv = pretok(x,y,A) 

P = 0.7*R; 

yodv = [ y(2); y(3); R*(y(2)^2 - y(1)*y(3) - A); 

y(5); -R*y(1)*y(5) - 1; y(7); -P*y(1)*y(7) ]; 

end 

function res = pretokbc(ya,yb,A) 

res = [ya(1); ya(2); yb(1) - 1; yb(2); ya(4); yb(4); ya(6); yb(6) - 1]; 

end 


11.7.2 Reševanje PDE z pdepe 

Rešujemo robne probleme, ki jih lahko zapišemo v obliki 

c(x, t, u, u x )u t = x −m ∂ 

∂x (xm f(x, t, u, u x )) + s(x, t, u, u x ), 

kjer je u funkcija spremenjivk x in t. Za m velja, da mora biti enak 0, 1 ali 2. Rešitev 

iščemo za a ≤ x ≤ b in t 0 ≤ t ≤ t f . Začetni pogoj je x(x, t 0 ) = u 0 (x), robna pogoja 

pri x = a oz. x = b v trenutku t pa sta 

p(x, t, u) + q(x, t)f(x, t, u, u x ) = 0. 

Oblika za klic je sol=pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan), pri čemer: 

• m je ekponent pri x −m , ki mora biti 0,1, ali 2; 

• funkcija pdefun poda diferencialno enačbo, oblika je [c,f,s] = pdefun(x,t,u,ux); 

• funkcija icfun poda začetni pogoj, oblika je res = icfun(x); 

• funkcija bcfun poda robne pogoje, oblika je [pa,qa,pb,qb] = bcfun(xa,ua,xb,ub,t), 

kjer so pa,qa,pb,qb po vrsti vrednosti p in q iz robnega pogoja pri x = a oz. x = b; 

• xmesh je podana mreža za x, velja xmesh(1)=a, . . ., xmesh(end)=b; 

• tmesh je podana mreža za t, velja tmesh(1)=t 0 , . . ., tmesh(end)=t f . 


Zgled 1 za pdepe 

Rešujemo parabolični problem u t = u xx na območju x ∈ [0, 1], t ≥ 0, robna pogoja sta 

u(0, t) = 0, u(1, t) = 1, začetni pogoj pa u(x, 0) = 2x/(1 + x 2 ). 

To lahko prevedemo na obliko 

c(x, t, u, u x )u t = x −m ∂ 

∂x (xm f(x, t, u, u x )) + s(x, t, u, u x ), 

če vzamemo m = 0, c(x, t, u, u x ) = 1, f(x, t, u, u x ) = u x in s(x, t, u, u x ) = 0. 

Tudi robne pogoje lahko podamo v obliki 

p(x, t, u) + q(x, t)f(x, t, u, u x ) = 0, 

če vzamemo p a (x, t, u) = u, q a (x, t) = 0, p b (x, t, u) = u − 1, q b (x, t) = 0. 



function [c,f,s] = wavepde(x,t,u,ux) 

c = 1; 

f = ux; 

s = 0; 

function [pa,qa,pb,qb] = wavebc(xl,ul,xr,ur,t) 

pa = ul; 

qa = 0; 

pb = ur-1; 

qb = 0; 

function y = waveini(x) 

y = 2*x/(1+x^2); 

m = 0; 

x = linspace(0,1,20); 

t = linspace(0,2,10); 

u = pdepe(m,@wavepde,@waveini,@wavebc,x,t); 

surf(x,t,u); 



Rešujemo sistem dveh enačb 

na območju x ∈ [0, 1], t ∈ [0, 0.2], robni pogoji so 

u t = 1 2 u xx + 1 

1 + v 2, v t = 1 2 v xx + 1 

1 + u 2 

u x (0, t) = u x (1, t) = v x (0, t) = v x (1, t) = 0, 

začetna pogoja pa 

u(x, 0) = 1 + 1 2 cos(2πx), 

v(x, 0) = 1 − 1 2 cos(2πx). 

To zapišemo v obliki c(x, t, u, u x )u t = x −m ∂ 

∂x (xm f(x, t, u, u x )) + s(x, t, u, u x ) z 

m = 0, c(x, t, u, u x ) = 

[ ] 1 

, f(x, t, u, u 

1 x ) = 1 2 u x, s(x, t, u, u x ) = 

[ 1/(1 + u 

2 

] 

2 ) 

1/(1 + u 2 1 ) . 

Robne pogoje podamo v obliki p(x, t, u) + q(x, t)f(x, t, u, u x ) = 0 z 

[ ] 0 

p a (x, t, u) = p b (x, t, u) = , q 

0 a (x, t, u) = q b (x, t, u) = 

[ ] 1 

. 

1 



function [c,f,s] = sisde(x,t,u,ux) 

c = [ 1; 1 ]; 

f = ux/2; 

s = [ 1/(1+u(2)^2); 1/(1+u(1)^2) ]; 

function [pa,qa,pb,qb] = sisbc(xl,ul,xr,ur,t) 

pa = [0; 0]; 

qa = [1; 1]; 

pb = [0; 0]; 

qb = [1; 1]; 

function y = sisini(x) 

y = [ 1+0.5*cos(2*pi*x); 1-0.5*cos(2*pi*x)]; 

m = 0; 

x = linspace(0,1,20); 

t = linspace(0,0.2,10); 

u = pdepe(m,@sispde,@sisini,@sisbc,x,t); 

u1 = u(:,:,1); u2 = u(:,:,2); 

sublot(221); surf(x,t,u1); 

sublot(222); surf(x,t,u2); 



Rešujemo Fischerjevo enačbo 

na območju x ∈ R, t ≥ 0, robni pogoji so 

u t = u xx + u(1 − u) 

lim u(x, t) = 1, lim 

x→−∞ 

u(x, t) = 0. 

x→∞ 

Mi vzamemo x ∈ [−50, 50] in na robu u x (±50, t) = 0. 

Za začetni pogoj vzamemo 

u(x, 0) = 

{ 14 

cos 2 ( πx 

10 

), |x| ≤ 5, 

0, |x| > 5. 

To zapišemo v obliki c(x, t, u, u x )u t = x −m ∂ 

∂x (xm f(x, t, u, u x )) + s(x, t, u, u x ) z 

m = 0, c(x, t, u, u x ) = 1, f(x, t, u, u x ) = u x , s(x, t, u, u x ) = u(1 − u). 

Robne pogoje podamo v obliki p(x, t, u) + q(x, t)f(x, t, u, u x ) = 0 z 

p a (x, t, u) = p b (x, t, u) = 0, q a (x, t, u) = q b (x, t, u) = 1. 



function [c,f,s] = fisherde(x,t,u,ux) 

c = 1; 

f = ux; 

s = u*(1-u); 

function [pa,qa,pb,qb] = fischerbc(xl,ul,xr,ur,t) 

pa = 0; 

qa = 1; 

pb = 0; 

qb = 1; 

function y = fischerini(x) 

y = 0.25*(cos(0.1*pi*x).^2).*(abs(x)

11.7.3 Uporabni ukazi za eliptične PDE in metodo končnih diferenc 

Nekaj uporabnih ukazov: 

• del2(U) izračuna diskretni Laplaceov operator na matriki U, 

• delsg(G) vrne matriko diskretnega Laplaceovega operatorja za območje, podano z 

indeksi elementov G, 

• numgrid(obl,n) vrne matriko indeksov točk v mreži. Število točk je n, možnosti za 

obliko območja so med drugim: ’S’: cel kvadrat, ’L’: oblika črke L, 3/4 celotnega 

kvadrata; ’C’ - podobno kot prej, le da ima v 4-tem kvadrantu četrt kroga; ’D’ - 

enotski krog; ’A’ - kolobar; ’H’ - kardioida, . . .. 


Zgled 1 za eliptične PDE in metodo končnih diferenc 

Rešujemo Poissonovo PDE ∆u = 2 na območju oblike črke L: D = [−1, 1] × [−1, 1] brez 3. kvadranta, 

z robnimi pogoji u(x, y) = 0 na ∂D. 

Rešitev bomo predstavili z matriko 41 × 81, v kateri bodo točke z razmikom h = 1/40. 

% 1. Sestavimo mrežo, G je matrika indeksov točk iz mreže 

m = 40; h = 1/m; G = numgrid(’L’,2*m+1); 

% 2. Izračunamo matriko A diskretnega Laplaceovega operatorja 

A = -delsq(G); N = sum(A(:)>0) 

% 3. Sestavimo vektor desne strani, ki ima vse elemente enake 2 

b = 2*ones(N)*h^2; 

% 4. Rešimo sistem in iz vektorja napolnimo elemente mreže 

u=A\b; U = A; U(G>0) = full(u(G(G>0))); 

% 5. Rešitev lahko narišemo 

mesh(U) 



Rešujemo Laplaceovo PDE ∆u = 0 na območju oblike črke L: D = [−1, 1] × [−1, 1] brez 3. kvadranta, 

kjer ima u na robu zgoraj in desno vrednosti 10, sicer pa 0. 

Rešitev bomo predstavili z matriko 101 × 101, v kateri bodo točke z razmikom h = 1/50. 

% 1. Sestavimo mrežo, G je matrika indeksov točk iz mreže 

m = 50; h = 1/m; G = numgrid(’L’,2*m+1); 

% 2. Izračunamo matriko A diskretnega Laplaceovega operatorja 

A = -delsq(G); N = sum(A(:)>0) 

% 3. Sestavimo vektor desne strani. Ustrezna indekse preberemo iz matrike G 

b = zeros(N,1); 

b(G(2,2:end-1)) = 10; 

b(G(2:end-1,end-1)) = b(G(2:end-1,end-1)) + 10; 

% 4. Rešimo sistem in iz vektorja napolnimo elemente mreže 

u=A\b; U = G; U(G>0) = full(u(G(G>0))); 

% 5. Rešitev lahko narišemo 

mesh(U) 



Za membrano oblike črke L: D = [−1, 1] × [−1, 1] brez 3. kvadranta, kjer so vrednosti na robu fiksne in 

enake 0, iščemo prve tri lastne frekvence in lastne funkcije. Približke dobimo iz lastnih vrednosti in lastnih 

vektorjev diskretnega Laplaceovega operatorja. Problem, ki ga rešujemo, je ∆u = λu, u| ∂D = 0. 

m = 150; h = 1/m; 

A = delsq(numgrid(’L’,2*m+1))/h^2; 

lambda = eigs(A,5,0) 

Dobimo [9.64225 15.19669 19.73849 29.51944 31.91689]. 

Prave vrednosti so [9.63972 15.19725 19.73921 29.52148 31.91264]. 

Kljub temu, da delamo z matriko velikosti 66901 × 66901, so približki točni le na dve decimalki. Ker je 

matrika razpršena, lahko s posebnimi algoritmi za razpršene metode vseeno hitro izračunamo lastne pare. 


11.7.4 Paket PDE Toolbox 

S pomočjo dodatnega paketa PDE Toolbox lahko z metodo končnih elementov rešujemo 

PDE različnih tipov na spošnih območjih. Območja lahko celo grafično skonstruiramo. 

Orodje poženemo z ukazom pdetool. 

Delo z orodjem pdetool lahko razdelimo v naslednje korake: 

1. Določitev območja Ω. Območje sestavimo z unijo ali komplementi območij pravokotne, 

eliptične ali poligonske oblike. 

2. Določitev robnih pogojev. Za vsak kos roba lahko določimo, ali imamo tam Dirichletov 

ali Neumannov robni pogoj in določimo vrednosti parametrov. 

3. Določimo tip PDE. Izbiramo lahko med eliptičnimi, paraboličnimi, hiperboličnimi PDE 

in med iskanjem lastnih vrednosti za eliptični operator (frekvence nihanja membrane z 

izbrano obliko). 

4. Trianguliramo območje, pri čemer lahko izberemo kvaliteto triangulacije. 

5. Rešimo problem in grafično predstavimo rešitev. 

Prednost metode končnih elementov pred metodo končnih diferenc je v tem, da jo je lažje 

uporabljati za območja nepravilnih oblik saj ni potrebno preračunavati robnih pogojev.

15. Metoda konÄnih elementov in reÅ¡evanje BDE in PDE v Matlabu

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

15. Metoda konÄnih elementov in reÅ¡evanje BDE in PDE v Matlabu