3. Nelinearni sistemi

3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
Rešujemo sistem nelinearnih enačb
f 1 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0
f 2 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0
.
f n (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0.
Pišemo F (x) = 0, kjer je x ∈ R n in F : R n → R n .
Za testni sistem bomo vzeli
3x 1 − cos(x 1 x 2 ) − 0.6 = 0
x 2 1 − 81(x 2 + 0.1) 2 + sin(x 3 ) + 1.1 = 0
e −x 1 x 2
+ 20x 3 + 9.1 = 0,
ki ima rešitev α = (0.533332, 0.0054539, −0.504855).
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Kako pridemo do začetnih približkov
Več kot imamo enačb, težje pridemo do začetnih približkov, če ne poznamo še ozadja
sistema, ki ga rešujemo.
V primeru ene same enačbe f(x) = 0 lahko iz grafa določimo začetni približek.
V primeru dveh enačb f 1 (x 1 , x 2 ) = 0 in f 2 (x 1 , x 2 ) = 0 iščemo presečišče dveh implicitno
podanih krivulj. Uporabimo lahko metode za implicitno risanje krivulj in spet grafično
določimo začetni približek. Če se da, lahko tudi iz ene enačbe izrazimo eno spremenljivko
in jo vstavimo v drugo enačbo, da dobimo eno samo nelinearno enačbo.
Če imamo več enačb, je situacija bolj zapletena. Nekaj možnosti:
• redukcija na manjši sistem,
• aproksimacija z linearnim modelom,
• uporaba variacijskih metod,
• metoda zveznega nadaljevanja.
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

3.2 Navadna oz. Jacobijeva iteracija
Prva metoda je posplošitev navadne iteracije. Sistem F (x) = 0 zapišemo v ekvivalentni
obliki x = G(x), kjer je G : R n → R n in tvorimo zaporedje približkov:
x (r+1) = G(x (r) ), r = 0, 1, . . . .
Če v našem testnem primeru iz i-te enačbe izrazimo x i , dobimo
x (r+1)
1
= 1 3
x (r+1)
2
= 1 9
x (r+1)
3
= − 1
20
od koder lahko razberemo G(x).
(
cos(x (r)
1 x(r)
√
(x (r)
2 ) + 0.6 )
1 )2 + sin(x (r)
3
) + 1.1 − 0.1
(
)
e −x(r) 1 x(r) 2 + 9.1 ,
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Jacobijeva iteracija in testni primer
Če vzamemo začetni približek x (0) = (0.4, 0.1, −0.4), potem iz
dobimo zaporedje
x (r+1)
1
= 1 3
x (r+1)
2
= 1 9
x (r+1)
3
= − 1
20
(
cos(x (r)
1 x(r)
√
(x (r)
2 ) + 0.6 )
1 )2 + sin(x (r)
3
) + 1.1 − 0.1
(
)
e −x(r) 1 x(r) 2 + 9.1 ,
r
3
‖x (r) − x (r−1) ‖ ∞ ‖F (x (r) )‖ ∞
1 0.533066702220 0.003672183829 −0.503039471957 1.3 · 10 −1 3.7 · 10 −1
2 0.533332694686 0.005530371351 −0.504902219788 1.9 · 10 −3 1.3 · 10 −3
3 0.533331883381 0.005451521829 −0.504852740886 7.9 · 10 −5 4.2 · 10 −5
4 0.533331924436 0.005454006133 −0.504854837609 2.5 · 10 −6 1.8 · 10 −6
5 0.533331923152 0.005453901274 −0.504854771543 1.0 · 10 −7 5.6 · 10 −8
6 0.533331923206 0.005453904579 −0.504854774331 3.3 · 10 −9 2.4 · 10 −9
7 0.533331923204 0.005453904439 −0.504854774243 1.4 · 10 −10 7.5 · 10 −11
8 0.533331923204 0.005453904444 −0.504854774247 4.4 · 10 −12 3.2 · 10 −12
x (r)
1
x (r)
2
x (r)
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Konvergenca navadne iteracije za sisteme nelinearnih enačb
Izrek 1.
Če obstaja območje Ω ⊂ R n z lastnostima:
a) x ∈ Ω ⇒ G(x) ∈ Ω,
b) x ∈ Ω ⇒ ρ(JG(x)) ≤ m < 1, kjer je JG(x) Jacobijeva matrika
⎡
⎤
∂g 1 (x)
∂g
∂x
· · · 1 (x)
⎢ 1 ∂xn
⎥
JG(x) = ⎣ .
. ⎦
∂gn(x)
∂x
· · ·
1
∂gn(x)
∂xn
in ρ spektralni radij (največja absolutna vrednost lastne vrednosti),
potem ima G(x) = x v Ω natanko eno rešitev α, zaporedje x (r+1) = G(x (r) ),
r = 0, 1, . . . , pa za vsak x (0) ∈ Ω konvergira k α.
Red konvergence je odvisen od Jacobijeve matrike. V primeru JG(α) = 0 dobimo
vsaj kvadratično konvergenco, ta pogoj pa je izpolnjen npr. pri Newtonovi metodi, ki je
posplošitev tangentne metode.
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Zadostni pogoj in ocena za napako
Izrek 2.
Če obstaja območje Ω ⊂ R n z lastnostima:
a) x ∈ Ω ⇒ G(x) ∈ Ω,
b) ‖JG(x)‖ ∞ ≤ m < 1 kar je ekvivalentno
∣ n∑
∂g j (x) ∣∣∣
∣ ≤ m < 1, j = 1, . . . , n,
∂x k
k=1
potem ima G(x) = x v Ω natanko eno rešitev α, zaporedje x (r+1) = G(x (r) ),
r = 0, 1, . . . , za vsak x (0) ∈ Ω konvergira k α in velja ocena
‖x (r) − α‖ ∞ ≤
mr
1 − m ‖x(1) − x (0) ‖ ∞ .
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Testni primer
Za testni primer imamo
⎡
JG(x) =
⎢
⎣
− x 2
3
sin(x 1 x 2 ) − x 1
3
sin(x 1 x 2 ) 0
x 1
0
9
√x 2 1 +sin x 3 +1.1
cos x
√ 3
9 x 2 1 +sin x 3 +1.1
− x 2
20 e−x 1 x 2 − x 1
20 e−x 1 x 2 0
⎤
.
⎥
⎦
Če vzamemo Ω = [−1, 1] × [−1, 1] × [−1, 1], potem za x ∈ Ω velja G(x) ∈ Ω.
Če ocenimo absolutne vrednosti parcialnih odvodov G na Ω, dobimo ‖G(x)‖ ∞ ≤ m za
m = 0.561.
Iz ocene ‖x (8) − α‖ ∞ ≤ m8
1−m ‖x(1) − x (0) ‖ ∞ sledi ‖x (8) − α‖ ∞ ≤ 2.9 · 10 −3 , kar je
zelo slaba ocena.
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Seidlova iteracija
Če računamo komponente x (r) po vrsti, lahko izračunane komponente upoštevamo pri
izračunu naslednjih:
x (r+1)
1
= 1 3
x (r+1)
2
= 1 9
x (r+1)
3
= − 1
20
(
cos(x (r)
1 x(r)
√
(x (r+1)
2 ) + 0.6 )
1
) 2 + sin(x (r)
3
) + 1.1 − 0.1
(
)
e −x(r+1) 1
x (r+1)
2 + 9.1 .
Temu postopku pravimo Seidlova iteracija.
iteracija, obstajajo pa tudi protiprimeri.
Ponavadi konvergira hitreje kot Jacobijeva
Pri testnem primeru z x (0) = (0.4, 0.1, −0.4) dobimo zaporedje
r
3
‖x (r) − x (r−1) ‖ ∞ ‖f(x (r) )‖ ∞
1 0.533066702220 0.010818602012 −0.504712478046 1.3 · 10 −1 9.4 · 10 −2
2 0.533327790230 0.005460936737 −0.504854588390 5.4 · 10 −3 1.2 · 10 −4
3 0.533331919588 0.005453913740 −0.504854774000 7.0 · 10 −6 1.6 · 10 −7
4 0.533331923200 0.005453904456 −0.504854774246 9.3 · 10 −9 2.1 · 10 −10
5 0.533331923204 0.005453904443 −0.504854774247 1.2 · 10 −11 2.9 · 10 −13
x (r)
1
x (r)
2
x (r)
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

3.3 Newtonova metoda
Izpeljava Newtonove metode poteka preko Taylorjeve vrste. Denimo, da so vse f i dvakrat
zvezno odvedljive v okolici rešitve. Tedaj lahko razvijemo:
f i (x + ∆x) = f i (x) +
n∑
k=1
∂f i (x)
∂x k
∆x k + · · · , i = 1, . . . , n.
Če zanemarimo kvadratne in višje člene in želimo, da bo f(x + ∆x) = 0, dobimo linearni
sistem za popravke
⎡
⎤
⎢
⎣
∂f 1 (x)
∂x
· · ·
1
.
∂fn(x)
∂x
· · ·
1
∂f 1 (x)
∂xn
.
∂fn(x)
∂xn
⎥
⎦
⎡
⎣
⎤ ⎡
∆x 1
. ⎦ = − ⎣
∆x n
⎤
f 1 (x)
. ⎦ ,
f n (x)
nato pa popravimo približke v
x k + ∆x k , k = 1, . . . , n.
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Newtonova metoda
Pri Newtonovi metodi tvorimo zaporedje
x (r+1) = x (r) − JF (x (r) ) −1 F (x (r) ), r = 0, 1, . . . .
V praksi ne računamo inverza Jacobijeve matrike, temveč rešujemo sistem:
JF (x (r) )∆x (r) = −F (x (r) ),
x (r+1) = x (r) + ∆x (r) , r = 0, 1, . . . .
Tako kot pri tangentni metodi imamo tudi tukaj v bližini enostavne ničle zagotovljeno
kvadratično konvergenco, težava pa je v tem, da moramo za konvergenco ponavadi poznati
dovolj dober začetni približek.
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Newtonova metoda in testni primer
Za testni primer velja
JF (x) =
⎡
⎤
3 + x 2 sin(x 1 x 2 ) x 1 sin(x 1 x 2 ) 0
⎢
⎣ 2x 1 −162(x 2 + 0.1) cos(x 3 ) ⎥
⎦ .
− x 2 e −x 1 x 2 −x 1 e −x 1 x 2 20
Če vzamemo začetni približek x (0) = (0.4, 0.1, −0.4), potem Newtonova metoda vrne
r
3
‖x (r) − x (r−1) ‖ ∞ ‖f(x (r) )‖ ∞
1 0.533277157343 0.027209850424 −0.503797935671 1.8 · 10 −1 4.1 · 10 −1
2 0.533349540310 0.007317424279 −0.504802389730 2.0 · 10 −2 3.2 · 10 −2
3 0.533332076670 0.005470116245 −0.504854320569 1.8 · 10 −3 2.8 · 10 −4
4 0.533331923216 0.005453905692 −0.504854774212 1.6 · 10 −5 2.1 · 10 −8
5 0.533331923204 0.005453904443 −0.504854774247 1.2 · 10 −9 1.8 · 10 −15
6 0.533331923204 0.005453904443 −0.504854774247 1.2 · 10 −16 2.2 · 10 −16
x (r)
1
x (r)
2
x (r)
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Kantorovičev izrek
Izrek 3.
Denimo, da obstajajo taka števila a, b, c, da je h = abc < 1 2
in da velja:
a) F je v x (0) odvedljiva in ‖JF −1 (x (0) )‖ ∞ ≤ a,
b) b = ‖x (1) − x (0) ‖ ∞ ,
c) v okolici K ∞ (x (0) , 2b) = {x : ‖x − x (0) ‖ ∞ ≤ 2b} so funkcije f i dvakrat zvezno
odvedljive in velja
∣
n∑
∂ 2 f i (x) ∣∣∣∣ ≤ c , i, j = 1, . . . , n.
∣∂x j ∂x k n
k=1
Potem ima sistem F (x) = 0 v K ∞ (x (0) , 2b) natanko eno rešitev α h kateri konvergira
zaporedje {x (r) } in velja ocena
‖x (r) − α‖ ∞ ≤ (2h)2r −1
2 r−1 .
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Zgled uporabe Kantorovičevega izreka
Za naš testni primer velja
f 1x1 x 1
(x) = x 2 2 cos(x 1x 2 ) f 1x1 x 2
(x) = x 1 x 2 cos(x 1 x 2 ) f 1x1 x 3
(x) = 0
f 1x2 x 2
(x) = x 2 1 cos(x 1x 2 ) f 1x2 x 3
(x) = 0 f 1x3 x 3
(x) = 0
f 2x1 x 1
(x) = 2 f 2x1 x 2
(x) = 0 f 2x1 x 3
(x) = 0
f 2x2 x 2
(x) = −162 f 2x2 x 3
(x) = 0 f 2x3 x 3
(x) = − sin x 3
f 3x1 x 1
(x) = x 2 2 e−x 1 x 2 f 3x1 x 2
(x) = x 1 x 2 e −x 1 x 2 f 3x1 x 3
(x) = 0
f 3x2 x 2
(x) = x 2 1 e−x 1 x 2 f 3x2 x 3
(x) = 0 f 3x3 x 3
(x) = 0.
Vzamemo lahko c = 486. Za a dobimo 0.33. Če začnemo pri x(0) , izreka še ne moremo
uporabiti, saj je potem h = 28.9. Če pa začnemo pri x (2) , dobimo h = 0.16. Po izreku
potem dobimo oceno ‖x (5) − α‖ ∞ ≤ 7.7 · 10 −5 .
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Kvazi–Newtonove metode
Posebno pri velikih n imamo pri Newtonovi metodi veliko dela. Če je Jacobijeva matrika
polna, potem moramo v vsakem koraku najprej izračunati n 2 parcialnih odvodov, potem pa
še rešiti sistem z matriko n × n, za kar potrebujemo O(n 3 ) operacij.
Zaradi tega in pa tudi ker ne poznamo nujno parcialnih odvodov, bi radi tudi tukaj žrtvovali
nekaj konvergence za računanje brez parcialnih odvodov, podobno kot pri sekantni metodi.
V ta namen obstaja mnogo kvazi–Newtonovih metod, ki ne uporabljajo parcialnih odvodov.
Najbolj znana je Broydenova metoda.
Kadar imamo velik n in je Jacobijeva matrika razpršena, potem se za reševanje linearnega
sistema s to matriko ne splača uporabljati direktnih metod. Uporabljamo iterativne metode,
kar pomeni, da v vsakem koraku namesto točnega popravka izračunamo le približek za
popravek. Tovrstne metode so t.i. netočne Newtonove metode, primer je kombinacija
Newtonove metode in metode GMRES.
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Broydenova metoda
Naj bo B r približek za JF (x (r) ). En korak kvazi–Newtonove metode je
a) reši B r ∆x (r) = −F (x (r) ),
b) x (r+1) = x (r) + ∆x (r) ,
c) določi B r+1 za naslednji korak.
Pri Broydenovi metodi za B r+1 vzamemo najbližjo matriko B r , ki zadošča t.i. sekantnemu
pogoju
B r+1 (x (r+1) − x (r) ) = F (x (r+1) ) − F (x (r) ).
Rešitev je
B r+1 = B r + F (x(r) )(∆x (r) ) T
(∆x (r) ) T ∆x (r) .
Na začetku za B 0 vzamemo čim boljšo aproksimacijo za JF (x (0) ), v najslabšem primeru
pa kar I. Število operacij lahko zmanjšamo, če namesto direktnega posodabljanja B r
posodobimo faktorizacijo, ki jo uporabljamo za reševanje sistema v točki a).
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

3.4 Variacijske metode
Iščemo ekstrem funkcije F : R n − R n , kjer je F dvakrat zvezno odvedljiva na vse spremenljivke.
Potreben pogoj za ekstrem je
gradF (x) = 0
oziroma
∂F (x)
∂x k
= 0 za k = 1, . . . , n.
Če je x stacionarna točka, potem o vrsti in obstoju ekstrema odloča Hessejeva matrika
drugih odvodov
⎡
∂ 2 F (x)
∂ ∂x
HF (x) = ⎢
2 · · ·
2 ⎤
F (x)
∂x
1
1 ∂xn
⎥
⎣ .
. ⎦ .
∂ 2 F (x)
∂x 1 ∂xn
· · ·
∂ 2 F (x)
Iskanje ekstrema funkcij več spremenljivk lahko tako prevedemo na reševanje sistema
nelinearnih enačb. Gre pa tudi obratno.
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004
∂x 2 n

Prevedba reševanja nelinearnega sistema na iskanje minimuma
Iščemo rešitev sistema F (x) = 0, kjer je F : R n → R n . Funkcija
G(x) =
n∑
f 2 i (x)
i=1
ima globalni minimum ravno v točkah, kjer je F (x) = 0, zato lahko ničlo F poiščemo
tako, da poiščemo globalni minimum G.
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Metode za iskanje minimuma gladke funkcije n spremenljivk
Splošni nastavek je, da se iterativno monotono približujemo minimumu. Naj bo x (r) tekoči
približek. Izberemo vektor (smer) v r ∈ R n in v tej smeri poiščemo naslednji približek
tako da bo G(x (r+1) ) < G(x (r) ).
x (r+1) = x (r) + λ r v r ,
Pogledati moramo:
• kako izberemo smer v r ,
• kako določimo λ.
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Izbira smeri
Za izbiro smeri imamo med drugim naslednje možnosti:
a) splošna metoda spusta: izberemo poljubno smer v r , le da ni pravokotna na
gradG(x (r) ), saj v tej smeri ne moremo vedno dobiti manjše vrednosti.
b) metoda najhitrejšega spusta oz. gradientna metoda: za smer izberemo negativni
gradient v r = −gradG(x (r) ). Pri tem pristopu moramo poznati parcialne odvode
funkcije G.
c) metoda koordinatnega spusta: za smeri po vrsti ciklično izbiramo koordinatne smeri
e 1 , e 2 , . . . , e n .
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Določanje premika
Pri določanju λ r imamo opravka s funkcijo ene spremenljivke
g r (λ): = G(x (r) + λv r ).
Iščemo tak λ r , da bo g r (λ r ) < g r (0). Nekaj metod je:
a) metoda največjega spusta: poiščemo λ r , kjer funkcija g r doseže svoj minimum. Za to
rešimo nelinearno enačbo g ′ r (λ r) = 0 ali pa uporabimo kakšno metodo za računanje
minimuma funkcije ene spremenljivke, npr. metodo zlatega reza.
b) metoda tangentnega spusta: za λ r vzamemo presečišče tangente na y = g r (λ) v točki
λ = 0 z osjo x, oziroma λ r = −g r (0)/g ′ r (0). Če je g(λ r) ≥ g(0), potem λ r toliko
časa razpolavljamo, dokler ne dobimo manjše vrednosti.
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

c) metoda paraboličnega spusta: najprej s tangentno metodo določimo α, potem pa skozi
točke (0, g r (0)), (α/2, g(α/2)), (α, g(α)) potegnemo parabolo in za λ r vzamemo
točko, kjer parabola doseže minimum.
d) metoda diskretnega spusta: Izberemo h r . Če je g(h r ) < g(0), potem se premikamo
naprej s korakom h r in za λ r vzamemo kh r , kjer je prvič g((k + 1)h r ) ≥ g(kh r ).
Sicer pa h r razpolavljamo toliko časa, da je g(h r ) < g(0) in za λ r vzamemo h r .
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Konvergenca
Če iščemo minimum nenegativne funkcije, kar delamo, ko uporabimo variacijsko metodo
za reševanje nelienarnega sistema, imamo zagotovljeno konvergenco ne glede na začetni
približek, saj dobimo zaporedje približkov {x (r) }, za katere velja G(x (r+1) ) < G(x (r) ).
Kar se tiče reda konvergence, je ta ponavadi linearen.
Tako vedno dobimo nek lokalni minimum, nič pa nam ne zagotavlja, da bomo našli tudi
globalni minimum.
Ponavadi uporabimo kombinacijo variacijske metode in Newtonove metode ali kvazi–
Newtonove metode. Variacijska metoda nas ne glede na kvaliteto začetnega približka
pripelje v bližino rešitve, potem pa uporabimo hitrejšo metodo, ki potrebuje dobre začetne
približke.
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Uporabne formule
Če rešujemo nelinearni sistem F (x) = 0, kjer je F : R n → R n , potem za
G(x) = f 1 (x) 2 + · · · + f n (x) 2 velja
Za gradient velja
gradG(x) = 2
⎡
⎢
⎣
G(x) = F (x) T F (x).
f 1 (x)f 1x1 (x) + f 2 (x)f 2x1 (x) + · · · + f n (x)f nx1 (x)
f 1 (x)f 1x2 (x) + f 2 (x)f 2x2 (x) + · · · + f n (x)f nx2 (x)
.
f 1 (x)f 1x n(x) + f 2 (x)f 2x n(x) + · · · + f n (x)f nx n(x)
⎤
⎥
⎦
oziroma enostavneje
gradG(x) = JF (x) T F (x).
Če definiramo g(λ) = G(x + λz), potem dobimo
g ′ (0) = 2F (x) T JF (x)z.
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Testni primer in gradientna metoda
Reševanje testnega primera lahko prevedemo na iskanje minimuma funkcije
G(x) = f 1 (x) 2 + f 2 (x) 2 + f 3 (x) 2 ,
kjer so
f 1 (x) = 3x 1 − cos(x 1 x 2 ) − 0.6
f 2 (x) = x 2 1 − 81(x 2 + 0.1) 2 + sin(x 3 ) + 1.1
f 3 (x) = e −x 1 x 2
+ 20x 3 + 9.1.
Če vzamemo začetni približek x (0) = (0, 0, 0) potem po 20 korakih dobimo x (20) =
(0.65079172132, −0.21305107190, −0.511385522215).
Če to uporabimo za začetni približek za Newtonovo metodo, potem po 5 korakih dobimo
rešitev α = (0.531357185580, −0.205028183876, −0.510754950476).
Če bi namesto Newtonove metode še naprej uporabljali gradientno metodo, bi za enako
natančnost potrebovali še 104 korake gradientne metode.
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

3.5 Reševanje nelinearnih enačb v Matlabu
V standardni verziji so na voljo naslednje funkcije:
• fminsearch: iskanje minimuma realne funkcije iz R n v R. Uporablja simpleksni
algoritem.
• fminbnd: iskanje minimuma funkcije ene spremenljivke. Uporablja kombinacijo metode
zlatega reza in parabolične interpolacije.
Če ga imamo, potem je v dodatnem paketu za optimizacijo na voljo še:
• fsolve: reševanje sistema F (x) = 0 preko iskanja minimuma ‖F (x)‖ 2 .
Primeri uporabe:
• f=inline(’x(1)^2+x(2)^2’); fminsearch(f,[0.3;0.2])
• f=inline(’(x(1)^2+x(2)^2-10*x(1)-1)^2+(x(1)^2-x(2)^2+10*x(2)-25)^2’);
fminsearch(f,[2;4])
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

3.6 Metoda zveznega nadaljevanja
To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni
približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
parametra.
Opazujemo npr.
F (t, x) = t · f(x) + (1 − t) · g(x),
kjer je 0 ≤ t ≤ 1 in poznamo rešitve g(x) = 0.
S sledenjem krivulji od t = 0 do t = 1 dobimo rešitve f(x) = 0.
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Metoda zveznega nadaljevanja in diferencialne enačbe
Povezava z diferencialnimi enačbami je naslednja. Z odvajanjem po t dobimo
kar nam da začetni problem
kjer je g(x 0 ) = 0.
F t (t, x) + F x (t, x) · ẋ = 0,
ẋ = −F x (t, x) −1 · F t (t, x), x(0) = x 0 ,
Z metodami za reševanje začetnih problemov lahko sledimo rešitvi, poleg tega pa pri vsaki
vrednosti t lahko upoštevamo še, da mora za x(t) veljati F (t, x(t)) = 0.
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004

Prediktor-korektor sledenje homotopske krivulje
a) prediktor: Iz točke (t, x(t)) z eno izmed metod za reševanje začetnega problema (npr.
z Eulerjevo metodo) izračunamo prediktor x (P ) (t + h), ki je približek za rešitev v točki
t + h.
b) korektor: Z eno izmed metod za reševanje nelinearnega sistema (npr. z Newtonovo
metodo) rešimo sistem F (t + h, x(t + h)) = 0, za začetni približek pa vzamemo
(t + h, x (P ) (t + h)).
Bor Plestenjak - Numerična analiza 2004