Toán 2 - lib - Đại học Thăng Long

Chương 1. Thuật toán, Số nguyên, Trường hữu hạn, Đa thứcSố nguyên tố và Định lí cơ bản của số họcTrong tập hợp số tự nhiên N thì chỉ có số không là có vô số ước. Ngoài ranhững số tự nhiên khác không đều có hữu hạn ước trong đó 1 chỉ có đúng mộtước tự nhiên là chính nó, còn mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 bao giờ cũng có ít nhấthai ước tự nhiên là 1 và chính nó. Trong phần này ta quan tâm đến lớp nhữngsố tự nhiên mà ngoài ước là 1 và chính nó ra, không còn một ước tự nhiên nàokhác. Những số như vậy có một vai trò quan trọng, là những viên gạch xây nêncác số tự nhiên. Điều đó được thể hiện thông qua định lí cơ bản của số học.Định nghĩa 1.2.7 Số tự nhiên lớn hơn 1 được gọi là số nguyên tố nếu như nókhông có ước tự nhiên nào khác ngoài số 1 và chính nó. Các số tự nhiên lớnhơn 1 và không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số.Nhận xét 1.2.8 Theo định nghĩa trên, tập các số tự nhiên được phân thành batập hợp rời nhau: t0, 1u, tập các số nguyên tố, tập các hợp số.Ví dụ 1.2.9 Ta có 2, 3, 5, 7, 11, 257 là những số nguyên tố, 4, 8, 9, 12, 326là những hợp số.Ví dụ trên chứng tỏ trong thực tế có các số nguyên tố. Sự tồn tại của số nguyêntố còn được khẳng định qua mệnh đề sau:Mệnh đề 1.2.10 Ước nhỏ nhất lớn hơn 1 của một số tự nhiên lớn hơn 1 là mộtsố nguyên tố.Chứng minh: Giả sử a là một số tự nhiên lớn hơn 1 và số tự nhiên p ¡ 1 làước nhỏ nhất của a. Nếu p không phải là số nguyên tố thì p là hợp số và do đónó có ước p 1 sao cho 1 p 1 p. Từ đó p 1 a và 1 p 1 p mâu thuẫnvới giả thiết p là ước nhỏ nhất lớn hơn 1 của a.lĐịnh lí cơ bản của số học dưới đây được ta thừa nhận không chứng minh:Định lý 1.2.2 (Định lí cơ bản của số học) Mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phântích được thành tích những thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhấtnếu không kể đến thứ tự các thừa số.Trong phân tích số a ¡ 1 thành một tích những thừa số nguyên tố ở định lí cơbản nói trên, có thể xảy ra nhiều thừa số nguyên tố lặp lại. Gọi p 1 , p 2 , . . . , p klà các ước nguyên tố đôi một khác nhau của a và α i (1 ¤ i ¤ k) là số các nhântử cùng là p i trong phân tích của a thành tích những thừa số nguyên tố thì ta có:a p α 11 pα 22 . . . pα kk .Phân tích kể trên được gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của số a.16 Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG