Zbornik radova III , 2005. - filozofski fakultet u zenici - Univerzitet u ...

matematike 20. stoljeća bila je mnogo češće korištenjeaksiomatskog pristupa u matematičkim proučavanjima, izvangeometrije.Primjer čini Hilbertova zamisao cjelokupne formalizacijematematike i Gödelov dokaz o neostvarivosti takve ideje.Von Neumann je Kurta Gödela (1906.-1978.) smatrao"najvećim logičarem od pojave Aristotela" 1 . Na početku njegovograda najveći utjecaj je ostvarila Hilbert-Ackermannovamonografija Grundzüge der theoretischen logik iz 1928. godine. Uovoj monografiji je postavljeno kao otvoreno pitanje da li jeodređeni sistem aksioma predikatne logike prvog reda potpun.To znači da li taj sistem omogućava izvođenje svih logičkihistinitih tvrdnji. Gödel je svoju istraživačku karijeru započeorješavanjem tog otvorenog problema i taj rad je bio Gödelovadoktorska teza. Razdoblje od 1929. do 1939. godine je vrijemeintenzivnog rada u matematičkoj logici, a koji rezultira njegovimglavnim doprinosom. Počeo je (finitnim sredstvima) raditi naprovođenju Hilbertovog programa koji se odnosio na utvrđivanjekonzistentnosti aksiomatskih sistema matematike. Hilbertovprogram se sastojao u konstruiranju čistog logičkog formalizmaunutar kojeg bi se mogla iskazati cjelokupna građa matematike sajasnim kriterijem valjanosti dokaza. Zatim bi trebalo definiratiformalne teorije matematike i dokazati njihovu konzitentnost,utemeljenost i potpunost a što bi značilo formalizaciju cjelokupnematematike. Poznato je, da je teorija konzistentna ako unutarteorije nije moguće dokazati iskaz i negaciju tog iskaza. Formalnateorija je potpuna ukoliko je svaki iskaz, koji je istinit podsvakom interpretacijom, moguće dokazati unutar teorije. Ilijednostavnije rečeno, teorija je potpuna ukoliko je mogućedokazati sve teoreme te teorije. Gödel je pokazao da je svakiformalni sistem S u kojem je moguće razviti određeni elementarnidio aritmetike i koji zadovoljava minimalne zahtjevekonzistentnosti, nužno nepotpun. Ovo znači da se u tomformalnom sistemu može konstruirati tvrdnja G, takva da ni G ninjezina negacija – G nisu dokazive u S. Drugim riječima, Gödel jepokazao da svaki, koliko god obuhvatni, konzistentni sistemsadrži istinitu tvrdnju koju sam ne može dokazati. Ovaj rezultat1 Z. Šikić, Kako je stvarana novovjekovna matematika, Školska knjiga, Zagreb,1989, 163.46