Zbornik radova III , 2005. - filozofski fakultet u zenici - Univerzitet u ...

tvrđenje da sama ta formula nije teorema. Na taj način se dobijajedna formula koja nije teorem ako izražava neku istinu oprirodnim brojevima. Dakle tvrdnja G je konstruirana tako da jeistinita i da izražava svoju vlastitu nedokazivost. Na taj način,Gödel je pokazao da je svaki formalni sistem S u kojem je mogućerazviti određeni elementarni dio aritmetike i koji zadovoljavaminimalne zahtjeve konzistentnosti nužno nepotpun. Ovo značida u tom sistemu možemo konstruirati tvrdnju G takvu da ni G ninjezina negacija – G nisu dokazive u S. Time je Gödel svojimprvim teoremom dokazao da je matematičku teoriju nemogućepotpuno formalizirati ako ona obuhvaća elementarnumatematiku. Svaka formalizacija takve matematičke teorije sadržiformalni iskaz koji u tom formalno-logičkom sistemu nije nidokaziv ni oboriv, iako formalizira istinitu matematičku tvrdnju.Iz prvog teorema slijedi drugi, kojim je dokazano dakonzistentnost takve formalizacije nije dokaziva u tom formalno--logičkom sistemu. Prema tome, Hilbertovim programom se nemože opravdati cjelokupna matematika, jer se ona premaGödelovu teoremu ne može čitava formalizirati a što je trebao bitiprvi korak Hilbertovog programa. Teoremi o nepotpunosti suobjavljeni 1931. godine i učinili su Gödela, koji je tada imao 25godina, vodećim misliocem u tom području. Prema tome, sistemmože biti konzistentan uz uvjet da je nepotpun i može bitipotpun uz uvjet da je nekonzistentan. Ovo znači da nijednakonzistentna aksiomatizacija teorije prirodnih brojeva nikada nemože da obuhvati kao teoreme sve istine o prirodnim brojevima.Na taj način, ovaj rezultat je opovrgao ideju da se matematičkaistina može izjednačiti sa izvodljivošću iz aksioma.2. Matematika i filozofija matematikeRazumijevanje Gödelovih teorema će inicirati različitapromišljanja o osnovama matematike, a koja će se naći u sferifilozofije matematike. Naime, Gödelovi teoremi omogućavaju,između ostaloga, razumijevanje Hilbertovog programa i većinusuvremenih filozofskih promišljanja osnova matematike.Matematičko mišljenje polazi od prećutnih pretpostavki. Misliti uskladu s tim pretpostavkama i u njihovom okviru znači mislitimatematički, misliti u okviru u kojem se zbiva sama matematika.U tom smislu matematika je izvjesna znanost. Može se misliti i o48