pripremni zadaci za prijemni ispit građevinski fakultet univerziteta u ...

PRIPREMNI ZADACIZAPRIJEMNI ISPITGRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVUOvo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje prijemnogispita na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Sarajevu.Izbor je napravljen prema:1. Zbirka zadataka iz algebre I, II i III (prema programu za srednje škole), Stjepan Mintaković,Zavod za izdavanje udžbenika Sarajevo;2. Metodička zbirka zadataka iz algebre i geometrije (za sve srednje škole),Dr Marcel Šnajder,Dr Stjepan Tomić, Zavod za izdavanje udžbenika Sarajevo,te na osnovu zadataka koji su postvljeni na klasifikacionom ispitu iz matematike za upis naElektrotehnički fakultet, Fizički fakultet i Fakultet za fizičku hemiju na Univerzitetu u Beogradu,te na osnovu primjera zadataka za test iz matematike na Sveučilištu u Zagrebu.

2SADRŽAJRAZLOMCI...3ALGEBARSKIIZRAZI...9KVADRATNEJEDNAINE...14JEDNAINESAAPSOLUTNIMVRIJEDNOSTIMA...16GRAFICIKVADRATNEFUNKCIJESAAPSOLUTNIMVRIJEDNOSTIMA...18LOGARITAMSKEJEDNAINEINEJEDNAINE...19PRIMJENASLINOSTI...21POVRŠINARAVNIHFIGURA...22TRIGONOMETRIJA...24ISvoenjenaprvikvadrant...24IITrigonometrijskefunkcijesloženihuglova...25IIITrigonometrijskejednaine...27ANALITIKAGEOMETRIJAURAVNI...30PRIMJERIPRIJEMNOGISPITANARAZNIMFAKULTETIMA...40ElektrotehnikifakultetUiverzitetauBeogradu...40FakultetzasaobraajikomunikacijeuSarajevu...42ElektrotehnikifakultetUiverzitetauSarajevu...43GraevinskifakultetuSarajevo....46MalostatistikesaprijemnogispitanaGFuSarajevu02.07.2007...48TESTIRAJTESEZAPRIJEMNIISPITIZMATEMATIKE...52PROGRAMIZAPRIJEMNIISPITIZMATEMATIKE....58

9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.4

521.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.

32.34.36.6

1.5.9.12.13.14.17.7Rješenja20.23.26.29.31.32.

33.34.8

1.2.3.4.5.6.7.8.9Algebarskiizrazi

109.10.11.12.13.14.15.16.17.18.

19.20.111.2.3.4.5.Riješenja

6.7.9.1211.12.

13.14.15.16.17.18.13

1.2.3.4.5.6.7.14Kvadratnejednaine

1.2.3.4.5.6.7.15Rješenjakvadratnihjednaina

16Jednainesaapsolutnimvrijednostima1.2.3.4.Rješenjajednaina1.2.3.4.

18Graficikvadratnefunkcijesaapsolutnimvrijednostima1.3.Rješenja1.2.3.

1.2.3.4.6.19Logaritamskejednaineinejednaine

1.2.3.4.5.6.20Rješenjalogaritamskejednaineinejednaine

21Primjenaslinosti1.2.3.4.5.6.Rješenja1.3.4.6.

22Površinaravnihfigura1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.

1.4.5.7.8.9.10.11.12.14.23Riješenja

24TrigonometrijaRješenja

26Rješenja

27IIITrigonometrijskejednaine

28Rješenja

Taka30ANALITIKAGAEOMETRIJAURAVNIRastojanjedtaakaM 1 (x 1 ,y 1 )iM 2 (x 2 .y 2 ):d = (x - x ) + (y - y )2 22 1 2 11 1KoordinatesredineSdužiM 1 M 2 : xs = ( x1 + x2) , ys = ( y1 + y2).2 2PovršinatrouglaPovršinaPtrouglasavrhovimaM 1 (x 1 ,y 1 )iM 2 (x 2 .y 2 )iM 3 (x 3 ,y 3 ):1P = ± [ x1(y2 y3) + x2(y3 y1) + x3(y1 y2)] 2TakeM 1 (x 1 ,y 1 )iM 2 (x 2 .y 2 )iM 3 (x 3 ,y 3 )sukolinearne(tj.leženaistojpravoj)akkojeP=0.Jednainaprave2 2•Opštioblik:Ax+By+C=0,AiliBjerazliitoodnule(tj. A + B 0).C=0implicirapravaprolazikrozkoordinatnipoetak.x y• Segmentnioblik: + = 1, a btakaP(a,0)presjeksaosomOx,takaQ(0,b)presjeksaosomOy;x=apravaparalelnaosiOy,y=bpravaparalelnaosiOx;jednainaoseOxy=0,jednainaoseOy:x=0.•Eksplicitnioblik y=kx+n n (0,n)presjeksaosomOy, ,0 , k 0, k presjeksaosomOx,ugaosapozitivnimsmeromoseOx,k=tgakoeficijentpravca.• PramenapravihsacentrumM 0 (x 0 ,y 0 ):yy 0 =k(xx 0 ).• PravekrozdvijetakeM 1 (x 1 ,y 1 )iM 2 (x 2 .y 2 ):y2 y1y y1 = ( xx1) ili ( yy1)( x2 x1) = ( y2 y1)( xx1)x x2 1• Normalnioblik(p0jerastojanjepraveodkoordinatnogpoetka,augaokojinormalanatupravuzatvarasa(pozitivnom)smjeromoseOx)xcos + ysin p= 0.VezaizmeuraznihoblikajednainepraveC C A Ca = , b = , k= tg = , + = , p =A B B 2 2 2± A + B, Predznakpredkorjenombirasetakodajep0.Uslovparalelnostipravih• Pravey=k 1 x+n 1 ,y=k 2 x+n 2 suparalelneakoisamoakojek 1 =k 2 . • PraveA 1 x+B 1 y+C 1 =0,A 2 x+B 2 y+C 2 =0,suparaleleneakko: A1:B1 = A2:B2.Uslovnormalnostipravih• Pravey=k 1 x+n 1 ,k 1 0iy=k 2 x+n 2 ,k 2 0,sunormalneakkojek 1 k 2 =—1.• PraveA 1 x+B 1 y+C 1 =0iA 2 x+B 2 y+C 2 =0sunormalneakkojeA 1 A 2 +B 1 B 2 =0.1• PravakrozMo(x o ,y o )normalnanapravuy=kx+n,k0je y y0 = ( xx 0). k

Ugaoizmedupravihk2 k1• y=k 1 x+m 1, y=k 2 x+n 2 : tg = , 1+k k1+k k1 21 231,tj.1+ kk1 2=0=90 0 .Rastojanjetakeodprave2 2• rastojanjedtakeM 0 (x 0 ,y 0 )odpraveAx+By+C=0, A + B 0,jeAx0+ By0+ C d = 2 2A +B‣ dC>0akosutakeOiM 0 saistestraneprave,‣ dC0.Tadaje:2 2B C 2 B + C - 4ADp = , q = , r = . 22A 2A 4ATangentakružnice• AkotakaM o (x o ,y o )pripadakružnici(xp) 2 +(yq) 2 =r 2 ondaje(x o p)(xp)+(y o –q)(yq)=r 2 jednainatangentekružniceutojtaki.• Pravay=kx+njetangentakružnice(x—p) 2 +(y—q) 2 =r 2 akkoje(1+k 2 )r 2 =(qkpn) 2 .Elipsajegeometrijskomjestotaakauravnisaosobinomdajezbirrastojanjaoddvijeutvrenetake(fokusaF 1 iF 2 )stalan.Zbirrastojanjamakojetakeelipsedofokusaobilježavasesa2a.

x•Kanonskajednaina:a22y+ = 1b2 2322c b•Ekscentritet: e = 1 12a= a< ;Fokusi(žiže):(c,0),(c,0)2a a•Jednainedirektrisa: x = , xe= e;fokalniparametar: bp = a•Fokalniradijusi:r 1 =a+ex,r 2 =aex;xx0yy0•TangentautakiM(x 0 ,y o ): + = 12 2a b•Uslovidapravay=kx+nbudetangentahipcrbole:a 2 k 2 +b 2 =n 2 Hiperbolajegeometrijskomjestotaakauravnizakojevrijedidajerazlikarastojanjaoddvijeutvrenetake(fokusaF 1 iF2)stalna.Stalnarazlikaudaljenostiodfokusaobelezavasesa2a.2 2x y•Kanonskajednaina: = 1 2 2a b2c b•Ekscentricitet: e = 1 12a= + a> ;Fokusi(žiže):(c,0),(c,0)2a a•Jednainedirektrisa: x = , xe= e;fokalniparametar: bp = a•Fokalniradijusi:r 1 =a+ex,r 2 =a+ex;xx0yy0•TangentautakiM(x 0 ,y o ): = 12 2a b•Uslovidapravay=kx+nbudetangentahipcrbole:a 2 k 2 –b 2 =n 2 Parabolajegeometrijskomjestotaakauravnisaosobinomdajerastojanjeodjednefiksnetake(fokusaF)jednakorastojanjuodjednefiksneprave(direktrised).•Kanonskajednaina:y 2 =2px•Ekscentricitet:e=p • Fokus: ,02 p• Jednainadirektrise: x = ,Fokalniparametar:p2

33• Fokalniradijus:pr = x + 2• TangentautakiM(x o ,y o ): yy px ( x)= + 0 0• Uslovidapravay=kx+nbudetangentaparabole:2kn=p

34ZADACITakaitrougao1.OdredititakuM(x,y)kojajejednakoudaljenaodtacaka:M 1 (l,0),M 2 (2,2)iM 3 (0,2). Rjesenje.IzuslovazadatkajeMM 1 =MM 2 iMM 1 =MM 3 ,dobijeseslijedeisistemjednaina:odnosno2x+4y=7,2x4y=3,ijejerješenjex=1iy=5/4,pajetraženatakaM(1,5/4).2. PokazatidajetrougaoABCjednakokrakopravougliakosunjegovatemena:A(2,l),5(5,3)iC(0,4).3. DatasutriuzastopnatjemenaA(l,0),B(3,1)iC(5,4)paralelogramaABCD.Na'ikoordinatetemenaD.Rezultat.D(3,3).4.. DatasudvasusjednatjemenaA(4,4),B(2,8)ipresjekdijagonalaS(2,2)paralelogramaABCD.OdredititjemenaCiD.Rezultat.C(8,0),D(2,4).5. DvatjemenatrouglaABCsuA(3,1)iB(2,2),atreetjemeCpripadapozitivnomdijeluyose.NaikoordinatetakeCtakodapovršinatogtrouglabude10.Uputstvo.Izuslovazadatkadobijaseslijedeajednaina:5y 8 20 (y 0).C0,285. = > Rezultat. ( )'6. TritjemenacetvorouglaABCDsu:A(4,0),B(3,5)iC(7,5),aetvrtotjemeDpripadanegativnomdijeluxose.OdreditikoordinatetackeDtakodapovršinacetvorouglaABCDbude50.Rezultat.D(6,0).Prava7.DatajetakaA(l,2)ipravajednacinom2x+y3=0.a) NacijednacinupravekojaprolazikroztackuAinormalnajenadatojpravoj.b) NacijednainupravekojaprolazikroztackuAiparalelnajesadatompravom.1 1Rjesenje.a)Koeficijentpravcadatepravejek=2,akoeficijenttrazenepraveje k1= = , pajejednainak 21traženeprave y 2= ( x 1),odnosnox2y+3=0.Rezultat.b)2x+y4=0.28.TackeA 1 (l,0),B 1 (2,1)iC 1 (0,3)susredinestranicatrouglaABC.Nacikoordinatetjemenatogtrougla.Uputstvo.x 1 yPravaBCjeparalelnasapravomB 1 C 1 ilahkojeviditidajeBC:+ = ;2 2pravaABjeparalelnasapravomA B paje1 1x y3AB: = ;3 1pravaACjeparalelnasapravomA x 2 y11C 1 paje:AC: = . Rezultat.A(3,4),B(3,2),C(l2).1 39. Ujednainipravemx2y+5=0odreditiparametarmtakoda:a) pravabudeparalelnapravojx+y1=0,b) pravabudenormalnanapravuxy+1=0;c) pravazaklapasapozitivnimsmijeromxoseugaood60°.Rezultat.a)m=2;b)m=2;c) m = 2 3. 10.Tjemenatrouglasuta£ke:M 1 (3,0),M 2 (5,2)iM 3 (4,5).NaijednainuvisinetrouglaM i M 2 M 3 kojaodgovaratemenuM 1 .Rezultat.x3y3=0.11. NaijednainupravekojaprolazikroztakuA(2,3)isakoordinatnimosamagraditrougaopovrsine12.Uputstvo.x yJednainatraženepraveje + = 1,apovršnatrouglajep q1P= p q = 12. IzuslovadatakaAležinatoj2pravojdobijasejednaina 2 + 3 = 1.Zanalaženjeveliinapiqkoristisesistemjednaina:pq=24,3p+2q=24.p qRezultat.3x+2y12=0. 34

3512. Odreditiparametarptakodaprava2x+py5=0zaklapasakoordinatnimosamatrougaoijajepovršina5.5Rezultat. p = . 413. OdreditikoordinatetackeA'kojajesimetrinatakiA(1,1)uodnosunnapravux+2y1=0.Rješenje.PravakroztackuAnormalnanadatupravuimajednainu2xy3=0.Presjektihpravihje7 1 tacka B , ,5 5 atraženatakaA'(x',y')odreujeseizuslovaAB=BA',tj.7 x+ 1 1 y19 3 = i = .Prematome,trazenatackaje A , .5 2 5 25 514. Napravoj3xy+3=0nacitackuM 2 najbližutakiM 1 (2,1).Rezultat.M 2 (l,0). 15. NaijednainupravekojaprolazikroztakuM 3 (3,3),asapravom4xy2=0zaklapaugao 4 .Uputstvo.Izk 4uslovazadatkadobijasejednaina = 1, gdejekkoeficijentpravcatraženeprave.Rezultat.Dvarješenja:5x1+4k+3y24,3x5y=6.16. OdreditijednainugeometrijskogmjestataakauravniOxykojesupodjednakoudaljeneodtaakaA(1,3)iB(3,l).Rezultat.2xy=0.17. Nairastojanjeizmeuparalelnihpravihxy+2=0i2x2y+9=0.Rezultat. 5 24 . 18. Odreditijednainesimetralauglovakojeobrazujuprave8x+16y21=0i16x8y+23=0.Rezultat.2x–6y+11=0,12X+4y+1=0.19.Napravoj2xy10=0naitakuM(x,y)takodajezbirkvadratarastojanjaodtaakaM 1 (5,0)iM 2 (3,4)najmanji.Uputstvo.Izuslovazadatkaje:MM 2 1 +MM 2 2 =2x 2 +2y 2 +16x8y+50iy=2x10,odaklejeMM 2 1 +MM 2 2 =10x 2 80x+300.Rezultat.M(4,2).Kružnica20. NaijednainukružnicekojaprolazikroztakeA(l,6)i5(3,2),acentarCtekružniceležinapravojxy+3=0.Rješenje.CentarC(p,q)traženekružniceležinapravojx–4y+6=0kojajesimetraladužiABiležinadatojpravoj.Znai,zanalaženjeveliinapiqpostojisljedeisistemjednaina:p4q+6=0,p–q+3=0,pajecentarkružnice2 2C(2,l),apoluprenikjer=AC= 34. Prematome,traženajednainakružniceje( x+ 2) + ( y 1)= 34. 21.Na i jedna inu kružnice koja prolazi kroz ta ke M 1 (l, 3), M 2 (l, 1)iM 3 (1,3).Rezultat.(x+3) 2 +(y+1) 2 =20.22. Naijednainukružnicekojaprolazikrozkoordinatnipoetakiijicentarležinapravojy=xna rastojanjup 2 od koordinatnogpoetka.Rezultat.x 2 +y 2 2px2py = 0,x 2 +y 2 +2px + 2py = 0.23. Napisatijednainukružnicepoluprenikar=2,kojadodirujexosu,acentarjojjenapravojy=2x.Rezultat.(x1) 2 +(y –2) 2 =4,(x +1) 2 +(y+2) 2 =4.24.IztakeA(15,5)povuiseicunakružnicux 2 +y 2 =50takodaodsecatetivudužine10.Naijednainuteseice.Rezultat.3x+4y25=0,y+5=0.25. Naijednainutetivekružnicex 2 +y 2 4x+2y+1=0kojajetakomA(3,0)prepolovljena.Rezultat.x+y3=0.26. Odsjeakprave3x+2y6=0kojiodsjecajukoordinatneosejehipotenuzajednakokrakogpravouglogtrougla.Naitreetjemetogtrougla.Uputstvo.TakepresjekakoordinatnihosaidatepravesuA(2,0)iB(0,3).Prava4x–6y+5=0jesimetraladužiAB;kružnicaijijeprenikAB=13 imajednalnu(x1) 2 +(y 3 2 )2 = 13 4 .Znai,traženataka2 3 2 13C(x,y)jerješenjesljedeegsistemajednaina: 4x - 6y + 5 = 0, (x 1) + (y ) = . Rezultat.2 45 5 1 1C 1 , , C2 , .2 2 2 2 27.Naijednainukružnicekojadodirujepravux+y2=0utakiA(1,1)iprolazikroztakuB(4,0).Rezultat.2 2 7 725x + y = .2 2 2 35

3628.Odreditijednainukružniceijijecentarutakipresjekapravih3x4y+11=0i5x+7y50=0i2 2kojadodirujepravu5x+12y10=0.Rezultat. (x 3) + (y 5) = 25. 29. Odreditintakodapravay=x+nbudetangentakružnicex 2 +y 2 2x2y+1=0.Rezultat.n 1 = 2 ,n 2 = 2 .30. OdreditijednainukružniceijijecentartadkaC(2,5),adodirujekružnicu(x+2) 2 +(yl) 2 =2.a)spolja;b)iznutra.Rezultat.a)(x2) 2 +(y5) 2 =18;b)(x2) 2 +(y5) 2 =50.31.Nacigeometrijskomjestosredinatetivakruznicex 2 +y 2 =r 2 kojeprolazekroztackuM 0 (r,0).2 2 r 2 rRezultat.x ++ y =2,osimtakeM 0 (r,0). 432.NaigeometrijskomjestosvihtaakauravniOxyizkojihsekruznicax 2 +y 2 =r 2 vidipodpravimuglom.Rješenje.NekatakaM(x,y)pripadatrazenomskupuinekajeY=kX+ykxtangentadatekruzniceutaikiM(X,Y)2 2(XiY)sutekuekoordinateprave).Uslovdodiratangenteikruzniceje( 1+ k ) r = ( y kx ) 2, odnosno(r 2 x 2 )k 2 +2xyk+r 2 y 2 =0.Dobijenakvadratnajednainapokimadvarjesenjak 1 ik 2 ,kojazadovoljavajurelacijuk 1 k 2 2 2r y=1,paje:1.2 2 = Prematome,traženajednaiinajex 2 +y 2 =2r 2 .r xElipsa33.Naikanonskioblikjednadineelipseakojea+b=10ic= 20 (avelikapoluosa;bmalapoluosa;2crastojanjeizmeužiža).Rješenje.Izuslovazadatkadobijasesljedeisistemjednaina:a 2 b 2 =20,a+b=10,ijejerješenjea=6ib=4,pajetraženajednainaelipse16x 2 +36y 2 =3616.34.Podkojimseuglomvidižižnorastojanjeelipse9x 2 +36y 2 3 3 =936iiztake A3, ? 2 Rezultat.=arctg 12 .5 35.Uelipsux 2 +4y 2 =4upisanjejednakostraninitrougaoijesejednotjemepoklapasadesnimkrajemvelikepoluoseteelipse.Naikoordinateostaladvatjemenatogtrougla.33Uputstvo.TjemenaBiCtogtrouglanalazesenapravama y = (x 2)i y = (x 2) .332 4 3 2 4 3Rezultat. B , , C , .7 7 7 7 36. Tjemenaetvorouglanalazeseužižamaelipsi:b 2 x 2 +a 2 y 2 =a 2 b 2 i a 2 x 2 +b 2 y 2 =a 2 b 2 .Naipovršnutogetvorougla.Rezultat.P=2a 2 b 2 .37. Naijednainetangenataelipsex 2 +4y 2 =1kojesuparalelnepravojx+y=2.5Rezultat. y = x ± . 238.Napisatijednainuelipseukanonskomoblikuakoonadodirujeprave: x+ y 8= 0, x+ 3y+ 16= 0. Rezultat.a 2 =40,b 2 =24.39. Pravakojaodsjecajednakeodsjekenakoordinatnimosamajetangentaelipseizzad.38.Naijednainutetangente.Rezultat.x+y8=0.40. Naijednanutangenteelipse9x 2 +25y 2 =225ijijeodsjeakizmeukoordinatnihosatakomdodiraprepolovljen(prvikvadrant).Rezultat.3x+5y15 2 =0.41. Naijednainutangenteelipsesaosamaa 2 =72,b 2 =32kojasakoordinatnimosamazaklapatrougaopovršine48.Rezultat.2x±3v±24=0.42.Naiugaopodkojimsesjekukružnicax 2 +y 2 =4ielipsa3x 2 +4y 2 =13.Rezultat.43. Odreditijednainezajednikihtangenataelipsix 2 +4y 2 =4i9x 2 +y 2 =9.3 = arctg . 132 35 2 35Rezultat. y = 2 x ± , y = 2 x ± . 3 3 3 344. Naigeometrijskomjestocentarakrugovakojidodirujukružnicex 2 +y 2 =16i(x2) 2 +y 2 =4. 36

37Uputstvo.NekajeM(x,y)jednatakatraženoggeometrijskogmjestataaka,arpoluprenikkružnicekojadodirujedatekružnice.Tadajeoito(obaveznonacrtajtesliku):( ) 2 2 2 2r+ 2= x 2 + y , 4 r= x + y . Rezultat.Elipsa ( ) 2 28x 2 + 9y = 72ipravay=0beztake(4,0).IInain.Nekasu:O 1 centarveekružniceijijepoluprenikr 1 =4,O 2 centarkružniceijijepoluprenikr 1 =2,tadaje(vidisliku)(O 1 M=r 1 –r,O 2 M=r 2 +r)O 1 M+O 2 M=r 1 +r 2 =6,tj.traženogeometrijskomjestojeelipsaijisufokusi2 2O 1 i O 2 , takodaje2a=6,2c=O 1 O 2 =r 1 =2.Zatoje(a,c)=(3,1)i b = a c = 8 .45.Naigeometrijskomjestotaakakojedijeleordinatetaakakružnicex 2 +y 2 =25urazmjeri3:2.Rezultat.9x 2 +25y 2 =225.2 2x y45. Odreditigeometrijskomjestotaakaizkojihseelipsa + = 1vidipodpravimuglom.Uputstvo.Vidizadatak2 2a b32,odjeljakKružnica.Rezultat.x 2 +y 2 =a 2 +b 2. .Hiperbola47.OdreditijednainuhiperboleukanonskomoblikuakotahiperbolaprolazikroztakeM 1 (2,0)iM 2 (6,4).Rješenje.Iz2 2 2 2uslovadatakeM 1 iM 2 pripadajuhiperboliijajejednaina: b x a y = 1dobijasesljedeisistemjednaina:4b 2 =a 2 b 2 ,36b 2 16a 2 =a 2 b 2 .Izlazia 2 =4ib 2 2 2x y=2,pajejednainatehiperbole = 1 .4 248.Naijednainuhiperboleukanonskomoblikuakotahiperbolaprolazikroztaku A( 4 2, 3) iakoonaimaistežižekaoielipsa2x 2 +7y 2 2 2x y=70.Rezultat. = 1 .16 949.Datajejednainaelipse9x 2 +25y 2 =225.Napisatijednainuhiperboleijasutemenaužižamateelipse,ažižetehiperboleutemenimadateelipse.2 2x yRezultat. = 1 .16 92 2x y50.Izraunatirastojanježižahiperbole = 1 odnjenihasimptota.Rezultat.6.64 3651.Naidužinutetivehiperbole5x 2 4y 2 =20kojaprolazikrozdesnužižutehiperboleiparalelnajesapravomx+y=1.Rezultat.40.52.Napisatijednainutetivehiperoble4x 2 9y 2 =36kojupolovitakaA(5,1).Rezultat.20x9y=91.53.Jednakostraninitrougao,kojijesimetrianuodnosunaxosu,imajednotjemeukoordinatnompoetku,adrugadvatjemenasunahiperboli4x 2 9y 2 =36(x>3).Naikoordinatetjemenatogtrougla.Rezultat.O(0,0),A(6,2 3 ),B(6,2 3 ).54.IztakeA(1,0)povuenesutangentenahiperbolux 2 y 2 =4.Naijednainetih2 3tangenata.Rezultat. y=± ( x1 ).355.Odreditijednainetangenatahiperbole9x 2 4y 2 =36kojesuparalelnepravoj2xy4=0.Rezultat.y=2x± 7 .56.Odreditijednainetangenatahiperbolex 2 2y 2 =4kojesunormalnenapravojx+2y=1.Rezultat.y=2x± 14 .57.Odreditijednainuhiperboleukanonskomoblikuakotahiperboladodirujepravux–y2 2x y2=0utakiA(4,2).Rezultat. = 1 .8 458.Akosuprave5x7yl=0ixyl=0tangentehiperboleb 2 x 2 a 2 y 2 =a 2 b 2 ,odreditijednainutehiperbole.Rezultat.x 2 2y 2 =2.59.Podkojimseugtomsekukrivex 2 +y 2 =25i2x 2 y 2 =2?Rezultat.=arctgl8.60.Naijednainezajednikihtangenatahiperbole3x 2 4y 2 =12ikružnice2x 2 +2y 2 =1.Rezultat.y=x+ 1, y =x1,y=x+1,y=x 1. 37

3861. Naijednainukružniceijijecentarnayosiidodirujehiperbolu3x 2 y 2 =3utakiM(2,3).Rezultat.x 2 +(y4) 2 =5.62. NaijednainuonekriveijesutakedvaputadaljeodtakeF(8,0)negoodpravex=2.Rješenje.NekajeM(x,y)proizvoljnatakatraženekrive.Izdatoguslovadobijasejednaina( ) 2 2x 8 + y = 2 x 2 , 2 2x yaposlekvadriranjaisreivanjadobijasetraženakriva = 1 .16 4863.Naigeometrjskomjestotaakaizkojihsehiperbolab 2 x 2 a 2 y 2 =a 2 b 2 vidipodpravimuglom.Uputstvo.Vidizadatak32,odjeljakKružnica.Rezultat.x 2 +y 2 =a 2 b 2 (a>b).64.Naigeometrijskomjestocentarakružnicakojedodirujuspoljakružnicex 2 +y 2 =4ix 2 +y 2 6x=0.2 3 2Rezultat. 8x y = 2. 2Parabola65.Ujednainiparaboley 2 =2pxodreditiparametarptakodatakaM(2,4)ležinatojparaboli,azatimna'idirektrisuižižuteparabole.Rezultat.p=4,x=2,F(2,0).66.Naparaboliy 2 =4xnaitakuAijerastojanjeodkoordinatnogpoetkaiznosi(a,b).Tadajeb 2 =4a,aizuslovaOA==4a,a 2 +b 2 =21.Traženetakesu:1,2 ( )21. Rješenje.NekajetakaA=21 dobijasejednainaa 2 +b 2 =21.Dakle,aibsedobijuizsistemjednaina:b 2 A = 3, ± 2 3 . 67.Uparaboluy 2 =2xupisanjeistostraninitrougaoijesejednotjemenalaziutjemenuteparabole,adrugadvanadatojparaboli.Naikoordinatedrugadvatjemenatogtrougla.Rezultat. A = ( 6,2 3 ), B= ( 6, 2 3 ).68.Naijednainutetiveparaboley 2 =4xkojajetakomA(3,1)prepolovljena.Rješenje.2xy=5.69.Krozžižuparaboley 2 =4x,okomitonapravuy=2x,povuenajetetivaparabole.OdreditikoordinatesredineSovetetive.Rezultat.S(9,4).70.Naitangentuparaboley 2 =3xkojajeparalelnapravoj3x–yl=0.Rezultat.12x4y+l=0.71.Podkojimseuglomvidiparabolay 2 =8xiztakeA(2,3)?Rezultat.=2.72.Naiugaoizmeutangenataparaboley 2 =2xkojesupovueneutakamapresekateparaboleipravexy=2.2 5Rezultat.= arctg . 373. Naparaboliy 2 =4xnaitakunajbližupravoj4x+3y+46=0iizraunatinjenorastojanjedodteprave. 9 3 35Rezultat. A , ,d = .16 2 474. Naijednainukružniceijijecentarnaxosiikojasaparabolomy 2 =12xutakiA(3,6)imazajednikutangentu.Uputstvo.Jednainatangenteparaboley 2 =12xutakiA(3,6)jey=x+3.Tojeijednainatangentetraženekružnice.JednainanormaletepraveutakiAjey=x+9.TakaC(9,0)jecentarkružnice,apoluprenikjer=AC= 6 2.Rezultat.(x9) 2 +y 2 =72.75.Koja odparaboluy 2 =2pxkojasijeekružnicu(x+3) 2 +y 2 =72podpravimuglom.Rezultat.y 2 =12x.76. Podkojimseuglomsjekukrivey 2 =3xix 2 +y 2 4x6=0?Rezultat.=4.77. Naizajedniketangenatekružnicex 2 +y 2 =2iparaboley 2 =8x.Rezultat.y=x+2,y=x2.78.Napravojx+y+3=0naitakuizkojeseparabolay 2 =4xvidipodpravimuglom.Rezultat.A(l,2).79.Naigeometrijskomjestosredinatetivakrivey 2 =12xkojesuparalelnepravoj3x–4y+24=0.Rezultat.y 8 = 0 x 16 .9 80.Kojukrivuopisujecentarkružnicekojadodirujeyosuikružnicux 2 +y 2 2x=0?Rezultat.y 2 =4x.Grafikipredstaviiriješitisistemjednaina:81. x 2 +y 2 6x4y12=0,xy6=0.Rezultat.Presjenetakekružnice(poluprenika5sacentromu 38

taki(3,2))ipraveKP= {( 3, 3 ),( 8, 2 )}.82. x 2 +y 2 =16,y 2 =6x.Rezultat.Presjekkružniceiparabole {( )}392, ± 2 3 . 83. x 2 +4y 2 =4,4y 2 3=3x.Rezultat.Presjekkružniceiparabole1, ±.2 84. y=x 2 +3x1,xy=3.Rezultat.Presjekparaboleihiperbole ( ± 1, ± 3 ), ( 3, 1 ) . { }85. x 2 +y 2 +2x6y+5=0,x 2 +y 2 –2y9=0.Rezultat.Presjekdvijekružnice {( ) ( )}86. 9x 2 +y 2 =45,xy=6.Rezultat.Presjekelipseihiperbole {( ± 2, ± 3 ),( ± 1, ± 6 )}.87. x 2 +y 2 =25,x 2 +y=13.Rezultat.Presjekkružniceiparabole {( ± 4, 3 ),( ± 3, 4 )}.88. x 2 +y 2 =34,xy=15.Rezultat.Presjekkružniceihiperabole {( ± 3, 5 ),( ± 5, 3 )}.1, 4 , 3, 2 . LITERATURA1. M.Merkle(idr.devetautora):ZBIRKAZADATAKAITESTOVAzapolaganjeprijemnogispitaIZMATEMATIKEzaupisnatehnikei.,2.dopunjenoizdanje,Beograd2000,Zavodzaudžbenikeinastavnasredstva, 39

PRIMJERPRIJEMNOGISPITA40ElektrotehnikifakultetUiverzitetauBeogradu,2003 40

41 41

Fakultet za saobraaj i komunikacije,UniverzitetauSarajevu42Zadaci za Prijemni ispit (09. 07. 2007)Grupa ABroj zad.Tekst zadatka1.Odrediteskupsvihvrijednostirealnogparametrakzakojekvadratnajednaina2( k 1) x 2( k 1) x k 1 0 imadvarješenjaobanegativna.Riješiteuskupurealnihbrojevanejednaine:2.a)2x 3x 2 5 ;b) 3x 5 x1.Akoje f ( x) 2 f (1 x) x ,riješitetrigonometrijskujednainu3.2 4f(sin x cos x) . 64.U trouglu ABC ije stranice BC, CA, AB imaju redom dužine 24 cm, 12 cm, 18 cmupisana je kružnica K. Kroz centar te kružnice povuena je prava koja je paralelna sastranicom BC zadanog trougla i sijee stranicu AB u taki B1 , a stranicu CA u taki C 1 .Izraunajte:a) poluobim s zadanog trougla ABC i dužinu poluprenika kružnice K upisane tomtrouglu;b)površinu P1novonastalogtrougla AB 1C 1. Napomena:Svakiodzadataka1.4.sevrednujenaistinainpomaksimalno10bodova. ŠifrakandidataBrojbodovapozadacima1 2 3 4 Ukupanbrojbodova 42

43Fakultet za saobraaj i komunikacijeUniverzitetauSarajevuZadaci za Prijemni ispit (09. 07. 2007)Broj zad.Grupa BTekst zadatkaOdrediteskupsvihvrijednostirealnogparametrakzakojekvadratnajednaina1.2( k 1) x 2( k 1) x k 1 0 imadvarješenjarazliitogznaka.Riješiteuskupurealnihbrojevanejednaine:2.a)2x 3x 2 5 ;b) 3x 5 x1.Akoje f (1 x) 2 f ( x) 1 x,riješitetrigonometrijskujednainu3.2 4f(sin x cos x) . 64.U trouglu ABC ije stranice BC, CA, AB imaju redom dužine 24 cm, 12 cm, 18 cmupisana je kružnica K. Kroz centar te kružnice povuena je prava koja je paralelna sastranicom BC zadanog trougla i sijee stranicu AB u taki B1 , a stranicu CA u taki C 1 .Izraunajte :a) površinu P zadanog trougla ABC i dužinu njegove visine h na stranicu BC ;b) obim O1 novonastalog trougla AB C . 1 1Napomena:ŠifrakandidataBrojbodovapozadacima1 2 3 4 UkupanbrojbodovaSvakiodzadataka1.4.sevrednujenaistinainpomaksimalno10bodova.Komisija za pripremu, pregled i ocjenu radovaPrijemnog ispita na Fakultetu za saobraaji komunikacije Univerziteta u Sarajevu,akademske 2007/2008. godine 43

Elektrotehniki fakultetUniverzitetauSarajevuBrojzad.44PRIJEMNI ISPIT (02. 07. 2007)TekstzadatkaGrupa A2a)Nacrtatigrafikfunkcijefzadaneformulomf(x) x 5x 4. Nakontogariješitisvakuodnejednadžbi:1.x2225x 4 0 , x 5x 4 0 , x 5x 4 0 , x25x 4 0 .b)Odreditisvevrijednostirealnogparametraktakoda2jednadžba kx 2( k 2) x 2k1 0 imadvarealnairazliitarješenjakojapripadajuintervalu(0,5).2. Riješitisistemjednadžbi: log ( x y ) 1 log 1302 22 2log ( xy) log ( xy) log 2.10 10 10Odreditisvekompleksnebrojevezkojizadovoljavajuuslove:3.z 12 5 ,8iz 34 zz 8 1 ,gdjejeiimaginarnajedinica.sin cos 34. Izraunatisvevrijednostiizrazatgakoje isin .55.Utrokutijestraniceimajudužine24cm,12cmi18cmupisanajekružnica.Krozcentartekružnicepovuenajepravaparalelnasnajdužomstranicom.Izraunatiobimnovonastalogtrokuta.Napomene:- Svizadacisevrednujunaistinainpomaksimalno8bodova.- Rezultatiprijemnogispitabiteobjavljeni03.07.2007.u14 00 ,uzgradiElektrotehnikogfakulteta,ul.ZmajaodBosne,bb.,KAMPUS.ImeiprezimekandidataBrojbodovapozadacima1 2 3 4 5 Ukupanbrojbodova 44

1 2 3 4 5 6 46tadaje jednako:GRAEVINSKIFAKULTET,Sarajevo02072007. ZADACIZAKVALIFIKACIONIISPITIZMATEMATIKE. Svakizadatakimaeteriponuenaodgovora:a,b,c,d.OBAVEZNO:1. riješitepostavljenizadatak,azatim2. zaokružitiSAMOtaanrezultat.SMATRASEDANISTERIJEŠILITAJZADATAK,ako:(i) zaokružitenetaanrezultatilivišeodjednogponuenogrezultata(a,b,c,d),(ii) nezaokružitenijedanododgovora(a,b,c,d),(iii) samozaokružitetaanrezultatadanistezapisalirješenje.(iv) 1.ZADATAKNejednaina:( m 1) x 2 + 2mx+ m 0 važizasverealnex,akoje:a) 0m1 b) m 0 c) m1 d) m12.ZADATAKNekasenahorizontalnomterenuiztakeAtoranjvisok30mvidipoduglomod 6 .Dabiseizistetaketoranjvidiopoduglomod 3 trebaobibitivisok:a)60m b)75m c)90m d) 60 2 3.ZADATAKAkojejehipotenuzac=4,azamjernebrojeveoštrihuglovavrijedi:=1:3,tadajepovršinapravouglogtrougla:a) 22 ( 2 1); b) 2 3 ; c) 5+ 1; d) 2 2.4.ZADATAKOsnovicaravnokrakogtrouglajea=5,akrakb=10.Tadajepoluprenikopisanogkrugaokotrougla:a) 3 5 ; b) 4 15; c) 2( 3 + 13 14) ;d) 325.ZADATAKIzraz:3 31x y 2 2 2y xy 2: x y 2 2 2 4 8 1612xy xy x y imavrijednost:a)4; b)xy+3; c)2; d)xy+4.5.ZADATAK63 7 Akoje: cos 2 , 0, i cos , 0, ,65 2 130 2 46

47a)45 0 ; b)90 0 ; c)60 0 ; d)135 0 .Korisneformule:1+ cos2 1cos2cos =± , sin =± ,2 2cos( x + y)= cos x cos y sin x sin y.Upravouglomtrougluijesukateteaib,ahipotenuzac:sin= a c ,cos= b c RJEŠENJA1.ZadatakKvadratnitrinomf(x)=ax 2 +2bx+cnemijenjaznakakojediskriminantaD=b 2 –ac0,tj. (f x0 D 0 a < 0 )x R (f x 0 D 0 a > 0 )Dakle,2 2( )( ) ( )( ) ( )( x R m 1 x + 2mx+ m 0) D = m m 1 m = m 0 m 1

4.Zadatak48IzpravouglogtrouglaBDS(ijisuvrhovi(nacrtatisliku):Bvrhnaosnovicia=BCravnokrakogtrouglaABC,Djepodnožjevisineh=AD,povueneizvrhaAnaosnovicuBC,dokjeScentaropisanogkrugaokoravnokrakogtrouglaABC),ijesukatete 1 2 aih–r,ahipotenuzar,izlazih=AD=22 a5 15b (rjepoluprenikkrugaopisanogokotrouglaABC)22ar 2 =(hr) 2 + 25.ZadatakKakoje:2a 2 ,tj.2hr=h2 + b 22.Dakler=xyxy xyxy xyxy2b 4 15 .2h 32 2 3 3x y 2 2 2y xy xy x xyz 1 2y x y xyA : x y .2 2xy xy x y xyxyxyxyxy2 2 2 2 2x xyz xy2y x y 1,1 21 212B 2 4 8 16 12 222 24 3 2 21 3, 2 2 tako da je I = A+B=4.6.ZadatakZaoštreugloveiizlazi(ispredkorjenauzetznakpluszatoštojeoštarugao):cos =1+ cos2 1631= 1 = ,2 26565sin =1cos2 1638= , 1+ =2 26565,2 7 9 sin 1 cos 1 . 130 1301 7 8 9 772 2cos + = coscos sinsin = = =65 130 65 130 65 2 2Zatoje: ( ) 135 iz 0, i 0, slijedi 0, . 2 2 0tj. 2 48

Gradevinski fakultet, Sarajevo 10.9.2007.Prijemni ispitSvaki zadatak ima četiri ponudena odgovora: a), b), c), d)Riješite zadatak, a zatim obavezno zaokružite tačan rezultat.Smatraće se da niste riješili zadatak ako:i) zaokružite netačan rezultat ili više od jednog ponudenog rezultata;ii) ne zaokružite ništa;iii) samo zaokružite tačanPrezultat a niste priložili rješenje.1. 2. 3. 4. 5. 6.1. Ako sux =1 7 20 :2, 7+(0, 4:21 2 ) · (4, 2 1 3 40 )i1 1y =( p +b a b + p a ): a 2 b 1 ( 1) 1 29a 2 a 1 b , 2onda je xy jednako:a) 2 ; b) 3; c) 2; d) 2ab.32. Rješenja kvadratne jednačineabx + x + a +1b 2 x 2 +2bx 2 + x =1 2su:a) x 1 =1,x 2 = 2; b) x 1 = a+1,x1b+1 2 = ; b+1c) x 1 = ab+1 ,x 2 = 1b+1 ; d) x 1 = 1b+1 ,x 2 =1b+1 .3. Rješenje nejednačine 1 x +1< 1x+1 je:a) (1, 2]; b) ( 1, 1) [ (0, 1); c) ( 1, 0); d) [ 1, 0).4. Dijagonale jednakokrakog trapeza sijeku se pod pravim uglom, a njihovidijelovi su 4 i 3. Površina trapeza je:a) 1; b) p 2; c) 49 2 ; d) 49p 22.5. Rješenja trigonometrijske jednačine tg 2 x ( p 3 1)tg xp3 = 0 su:a) ⇡ + m⇡, ⇡+ n⇡, m, n 2 Z; b) 2m⇡, ⇡+ n⇡, m, n 2 Z;6 4 4⇡c) + m⇡, ⇡+ n⇡, m, n 2 Z; d) ⇡ + m⇡, ⇡+ n⇡, m, n 2 Z.3 4 3 46. Ako je sin ↵ = 512, sin = , a ↵ i su oštri uglovi, onda je sin(↵ ) jednako:13 13119119a) ; b) 1; c) 1; d) .169 169

Gradevinski fakultetUniverzitet u Sarajevu07.07.2010.Prijemni ispitSvaki zadatak ima pet ponudenih odgovora: a), b), c), d), e)Riješite zadatak, a zatim obavezno zaokružite tačan rezultat.Smatraće se da niste riješili zadatak ako:i) zaokružite netačan rezultat ili više od jednog ponudenog rezultata;ii) ne zaokružite ništa;iii) samo zaokružite tačan rezultat a niste priložili rješenje.P1. 2. 3. 4. 5. 6.1. Izraz A =(3(x+2)+ 2x2 x 102(x 3 +x 2 +x+1)2(x 3 x 2 +x 1) ):( 5+ 3x 2 +1 2(x+1)3) x+2jednak je:2(x 1) 2a) 0 b) x c)2 d) x e)N2. Rješenje nejednačine | x+2 | < 3 je skup:2x 3a) ( 1, 3 2 )[( 11 511,1) b) ( 1,1)[( 5 ,1) c) (1, 11 5 ) d) ( 1,1][[ 11 ,1) e) N53. Rješenja jednačine cos 2 2x 2 sin x cos x = 1 koja se nalaze u intervalu (0, 2⇡) su:a) { ⇡ 4 , 5⇡ 4 } b) { ⇡ 4 , 3⇡ 4 } c) { 3⇡ 4 , 7⇡ 4 } d) { ⇡ 4 , 5⇡4 } e) N4. Rješenje jednačine x + log 2 (10 2 x ) = 4 koje se nalazi u intervalu (1, 3] je:a) 1 b) log 2 6 c) 3 d) 2 e) N5. Ako je u trouglu ABC dato b =12,a c =10i = ⇡ , onda je a + c jednako:3a) 2 p 69 b) p 69 c) 2 p 69 10 d) p 69 5 e) N6. Ako je prava (1 a)x +(1+a)y 7=0(a 6= 1) normalna na pravu 2x + y =3,onda a ima vrijednost:a) 1 b) 1 3c) 1 d) 3 e) NN-Nijedan od ponudenih odgovora nije tačan.

Gradevinski fakultetUniverzitet u Sarajevu07.09.2010.Prijemni ispitSvaki zadatak ima pet ponudenih odgovora: a), b), c), d), e)Riješite zadatak, a zatim obavezno zaokružite tačan rezultat.Smatraće se da niste riješili zadatak ako:i) zaokružite netačan rezultat ili više od jednog ponudenog rezultata;ii) ne zaokružite ništa;iii) samo zaokružite tačan rezultat a niste priložili rješenje.P1. 2. 3. 4. 5. 6.1. Izraz A =( a b + b aabba+ 11+ b a11 b a): 1 a 3ba+b3a+ba b 3jednak je:a)1a bb) 1 c) 3a2 +b 2(a b) 2 d) ab e) N2. Rješenje nejednačine|x 1|x+2< 2 je skup:a) ( 5, 2)[( 2, 1) b) ( 5, 2) c) { 2} d) ( 5, 1) e) N3. Rješenja jednačine 2 4 2 cos2 x 4 sin x2 · 2 sin2 x 2 sin x+1 + 1 = 0 iz intervala (0, 4⇡) su:a) { ⇡ 2 , 5⇡ 2 } b) { 3⇡ 2 , 5⇡ 2 } c) { 5⇡ 2 , 7⇡ 2 } d) { 3⇡ 2 , 7⇡ 2 } e) N4. Rješenje jednačine log 2 x + log 2 (x + 2) = 3 je:a) 4 b) log 2 3 c) 2 d) 4 e) N5. Ako je u trouglu ABC dato a = p 3,b= p 2i↵ = ⇡ , onda je ugao jednak:3a) 3⇡ 4b) 7⇡12c) ⇡ 4d) 5⇡12e) N6. Jednačina normale na pravu 2x +3y = 2 koja prolazi tačkom A( 2 , 1) je:3a) 2x 3y =0 b) 2x +3y =0 c) 3x 2y =0 d) 3x +2y =0 e) NN-Nijedan od ponudenih odgovora nije tačan.

MALOSTATISTIKE49- Uspješnostrješavanjapojedinihzadataka(tj.brojkandidatakojisuriješilipojedinezadatke):Zadatakbr. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Nijedanzad.Rijšilokand. 18 25 6 13 35 6 80%(0d141) 12.75 17.73 4.25 9.21 24.82 4.25 56.74- Uspješnostkandidatapoukupnombrojurješenihzadataka:0 1 2 3 4 5 6Rješiliukupnozadatakakandiddata 80 33 16 10 2 0 0%(od141kand.) 56.74 23.40 11.35 7.09 1.42 .00 .00Gornjetabelesvekažuonevjerovatnološempredznanjukandidata:najlakšizadatakbr.5(operacijesarazlomcima:elementarnaalgebraiaritmetika)riješiloje35(slovima„tridesetpet“,tj.samo25%od141kandidata),nepoznavanjetrigonometrijejejošgore(zadaci2,3,6).Navodimnekoliko“rariteta”izradovakandidatakojisenevideizpriloženihtabela:1. formulezapovršinutrouglakojesekoristeu3.zadatku.:c c b b ab P , P a 2b, P , P ,2 2 32. „Pitagorinaformulazapravouglitrougaoc 2 =b 2 –a 2 ,gdjejechipotenuzaia,bsukatetepravouglogtrougla; 3. u2.zadatkujedankandidatkoristiproporcijuH:h=:,tejetraženavisinatornja0 60H h 30 60;0 304. „biseri“izaritmetikevezaniza5.zadatak: 2 4 8 16 24816 30 ,tj.trebadaje1 2 3 4 10tano xyxy ,ili„analoganrezultat“: 22 22 22 22 2 2 ... 49

50Graevinskifakultet,Sarajevo03.07.2008. PrijemniispitSvakizadatakimaetiriponuenaodgovora:a),b),c),d).Riješitezadatak,azatimobaveznozaokružitetaanrezultat.Smatraesedanisteriješilizadatakako:i)zaokružitenetaanrezultatilivišeodjednogponuenogrezultata;ii)nezaokružiteništa;iii)samozaokružitetaanrezultatanistepriložilirješenje.1. 2. 3. 4. 1.Riješitijednainu: 2log sinx log 1cos2x2 2sinx 1.Skuprješenjaje: 5 5a) 2k , 2k , 2k k ; b) 2k , 2k , 2k k ;2 6 6 2 6 6 5 5c) 2k , 2k , 2k k ; d) 2k , 2k , 2k k . 2 6 6 2 3 62.AkojeuABC:b+c=10, 6 ipovršinaP=6,izraunatipoluprenikRopisanekružnice. a) R= 100 24 3; b) R= 52 44 3; c) R= 52 24 3; d) R= 52 26 3. 23.Datjejednakokrakitrapezijaseveaosnovicaizpresjekadijagonalavidipoduglom ,aodsjecina3dijagonalamasu2i1.IzraunatiobimOipovršinuPtrapeza.(Nacrtatiskicu).11 3 11 3a) O= 7 3, P = , b) O= 5 3, P=;4 49 3 9 3c) O = 7 3, P = ; d) O = 5 3, P = .4 42 3 x 4.Odreditiskuprješenjanejednaine 1.x 1 3 3 1 1 1 1 1 1a) 1, ,1 b) 1, ,1 c) 1, ,1 d) 1, ,1 .4 4 2 2 4 4 2 4 Potrebne formule. a b c1) Sinusni stav: 2R. sin sin sin 2) Kosinusni stav (kad su uABC date dvije strane i zahva eni ugao, npr. strane a, b i ugao ):3) Osobina kvadratne jedna ine: 2 2 1c a b 2abcos ; absin .2brojevi u i v su korijeni kvadratne jedna ine x 2 px + q = 0 akko jeu+v=pi uv=q. 50

Gradevinskifakultet,Sarajevo03.07.2008. BPrijemniispit51Svakizadatakimaetiriponuenaodgovora:a),b),c),d).Riješitezadatak,azatimobaveznozaokružitetaanrezultat.Smatraesedanisteriješilizadatakako:i)zaokružitenetaanrezultatilivišeodjednogponuenogrezultata;ii)nezaokružiteništa;iii)samozaokružitetaanrezultatanistepriložilirješenje.1. 2. 3. 4. 1. Uistokranomtrapezudijagonalesesijekupoduglom23obimOipovršinuPtrapeza.(Nacrtatiskicu).9 3 11 3a) O= 7 3, P = , b) O= 5 3, P= ;4 49 3 11 3c ) O= 5 3, P = ; d) O= 7 3, P = .4 43x 2 2. Odreditiskuprješenjanejednaine 1. x 1,aodsjecinadijagonalamasu2i1.Izraunati 1 1 1 1 1 3 3 3 a) 1, ,1 b) 1, ,1 c) 1, ,1 d) 1, ,1 .4 4 2 2 4 4 4 4 3. Riješitijednainu: 2log sin x log 1cos 2x 2 2sin x 1. Skuprješenjeje: 5 5a) 2k , 2k , 2k k ; b) 2k , 2k , 2k k ;2 6 6 2 6 6 5 5c) 2k , 2k , 2k k ; d) 2k , 2k , 2k k . 2 6 6 2 3 64.UABCjea+c=10, 6ipovršinaP=6.IzraunatipoluprenikRopisanekružnice. a) R= 64 24 3; b) R= 52 24 3; c) R= 62 24 3; d) R= 102 24 3 . Potrebne formule. a b c1) Sinusni stav: 2R. sin sin sin 2) Kosinusni stav (kad su uABC date dvije strane i zahva eni ugao, napr. strane a,b i ugao ):3) Osobina kvadratne jedna ine: 2 2 1c a b 2abcos ; absin .2 brojevi u i v su korjeni kvadratne jedna ine x 2 px + q = 0 akko jeu+v=pi uv=q. 51

52Testirajte se za prijemni ispit iz matematike!Za rešavanje testa koristite papir i olovku, a zatim unesite rešenja zadataka!Ime:Prezime:1. Vrednost izraza 2. Za a=30 i b=6 vrednost izraza je: 3. U jednakokrakom trouglu ABC (AC=BC) duina osnovice AB=10, a duina krakova AC i BCiznosi 13. Zbir duina sve tri visine trougla ABC je: 52

534. Ako je , onda vrednost izraza pripada intervalu: 5. Za svako realno x razlomak je jednak: 6. Sfera S1 poluprenika upisana je u kocku ivice 1, a sfera S2 poluprenika je opisana okote kocke. Zbirje: 7. Vrednost izraza je: 53

54-1nijedan od ponuenih1i-i8. Ako je i , onda je : 9197849. Zbir svih rešenja jednaine je: 10. Proizvod svih rešenja jednaine je: 122426011. Srednja linija trapeza deli trapez na dva dela ije se površine odnose kao 7:5. Odnos manjei vee osnovice trapeza je: 1:31:5 54

551:41:61:212. Skup svih vrednosti realnog parametra za koje su rešenja kvadratne jednainenegativna je podskup skupa: 13. Jednaina na segmentu : ima tano 1 rešenjeima više od 4 rešenjaima tano 2 rešenjanema rešenjaima 4 rešenja14. Broj rešenja jednaine je: 3102bar 415. Zapremina paralelepipeda ije su sve strane rombovi stranice i oštrog ugla jednakaje: 55

5616. Rastojanje izmeu tangenti na hiperbolu koje su normalne na pravuje: 17. Zbir svih vrednosti realnog parametra za koje sistem , imajedinstveno rešenje je: 2-3-21318. Ako je i , tada je jednak: 56

5719. Osoba A tri stalnom brzinom po krunoj putanji i obie je za 40 sekundi. Osoba B tri usuprotnom smeru stalnom brzinom i mimoie se sa A svakih 15 sekundi. Za koliko sekundi Bobie putanju? 5525122427.520. Broj presenih taaka svih dijagonala unutar konveksnog sedmougla ABCDEF kod kojeg senikoje tri i više dijagonala ne seku u jednoj unutrašnjoj taki tog sedmougla je: 2128424535 57

58ProgramizaprijemniispitizMatematike1. Osnovnelogikeoperacije.Pojamfunkcije.2. Racionalnialgebarskiizrazi.Polinomi.3. Linearnafunkcija.Linearnejednaineinejednaine.Sistemilinearnihjednainainejednaina.4. Kvadratnafunkcija.Kvadratnejednaineinejednaine.Sistemikvadratnihjednaina.5. Algebarskeiiracionalnejednaineinejednaine.6. Pojamlogaritma.Logaritamskaieksponencijalnafunkcija.Logaritamskeieksponencijalnejednaineinejednaine.7. Trigonometrijskefunkcije.Identiteti,jednaineinejednaine.Primenatrigonometrijenatrougaoimnogougao.8. Kompleksnibrojevi.9. Analitikageometrijauravni(prava,krug,elipsa,hiperbolaiparabola).10. Planimetrija(prvenstvenogeometrijatrougla,etvorouglaikruga).11. Stereometrija(prizma,piramida,zarubljenapiramida,valjak,kupa,zarubljenakupa,sferaidelovisfere).12. Binomnaformula.Aritmetikaigeometrijskaprogresija.13. Pojamgraninevrednosti.Izvodiprimjenaizvoda. 58