Выпуск 1 - Российский государственный профессионально ...

может надеяться только на ошибку соперника.Пример 2. Пусть задан массив A длиныn. Найдем инвариант цикла в программесуммирования элементов массива:S := 0нц для i от 1 до nS := S + A[i]кцЗдесь на каждом шаге к переменной Sдобавляется элемент массива A[i], такчто при любом i после окончания очередногошага цикла в S накоплена суммавсех элементов массива с номерами от 1 до i. Это иесть инвариант цикла. Поэтому сразу можно сделатьвывод о том, что после завершения цикла в переменнойS будет записана сумма всех элементов массива.Аналогично можно показать, что в алгоритмепоиска наименьшего значения в массивеmin := A[1]нц для i от 2 до nесли A[i] < min тоmin:= A[i]всекцинвариант формулируется так: после выполнениякаждого шага цикла в переменной min записан минимальныйиз первых i элементов. Отсюда сразу следует,что после завершения цикла (при i = n) в этойпеременной будет минимальный из всех элементов.Пример 3. Для того же массива найдем инвариантцикла в программе сортировки элементов массиваметодом “пузырька”:нц для i от 1 до n-1нц для j от n-1 до i шаг -1если A[j] > A[j+1] тоc:= A[j]; A[j]:= A[j+1]; A[j+1]:= c;всекцкцДо начала алгоритма элементы расположеныпроизвольно. На каждом шаге внешнего циклана свое место “всплывает” один элемент массива.Поэтому инвариант этого цикла можно сформулироватьтак: “после выполнения i-го шага цикла первыеi элементов массива отсортированы и установленына свои места”.Теперь построим инвариант внутреннего цикла.В этом цикле очередной “легкий” элемент поднимаетсявверх к началу массива. Перед первым шагомвнутреннего цикла элемент, который будет стоятьна i-м месте в отсортированном массиве, можетнаходиться в любой ячейке от A[i] до A[n]. Послекаждого шага его “зона нахождения” сужаетсяна одну позицию, так что инвариант внутреннегоцикла можно сформулировать так: “элемент, которыйбудет стоять на i-м месте в отсортированноммассиве, может находиться в любой ячейке от A[i]А.П. Ершов (1931–1988)(inf.1september.ru)Рис. 18до A[j]”. Очевидно, что когда в концеэтого цикла j = i, элемент A[i] встаетна свое место.В предыдущих примерах мы определялиинвариант готового цикла.Теперь покажем, как можно строитьцикл с помощью заранее выбранногоинварианта.Пример 4. Рассмотрим алгоритмбыстрого возведения в степень, основанныйна использовании операцийвозведения в квадрат и умножения. Ониспользует две очевидные формулы:(1) a k = a k–1 ⋅ a при нечетной степени kи (2) a k = (a 2 ) k/2 при нечетной степени k.Покажем, как работает алгоритм на примеревозведения числа a в степень 7:7 6 2 3 2 2 2a a a a a a a a= ⋅ [ ] = ( ) ⋅ [ ] = ( ) ⋅[ ⋅ ] == ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅4 1 2 4 0 4 2 4 2( a ) [ a a] ( a ) [ a a a] [ a a a].Здесь поочередно применяются первая и втораяформулы. Заметим, что на каждом этапе выражениеa n можно представить в виде a n = b k ⋅ p, где через pобозначена часть, взятая выше в квадратные скобки.Если нам каким-то образом удастся уменьшить kдо нуля, сохранив это равенство, то мы получимa n = p, то есть задача будет решена, а результат будетнаходиться в переменной p.Таким образом, равенство a n = b k ⋅ p можно использоватькак инвариант цикла. Для того чтобыобеспечить выполнение этого равенства в начальныймомент, можно принять, например, b = a,k = n и p = 1. Далее в цикле применяются формулы(1) и (2) (в зависимости от четности k на данномшаге). Цикл заканчивается, когда k = 0. В результатеполучаем следующее решение:b:= a; k:= n; p:= 1нц пока k 0если mod(k,2) = 0 тоk:= div(k,2)b:= b*bиначеk:= k-1p:= b*pвсекцвывод pЗаметим, что инвариант цикла a n = b k ⋅ p выполняетсядо начала цикла, после каждого шага, атакже после завершения цикла. Таким образом, мынаписали код программы и одновременно доказалиправильность этого блока.Доказательное программированиеДля доказательства правильности программынеобходимо иметь спецификацию — точное описаниетого, что должно быть сделано в результатеработы программы.19январь 2012 / ИНФорматика