03 Blizkost v rovine a priestore - KSP

Cvicenie 3.6 Dokážte, že l ubovol ný bod ležiaci na A 12je bližšie k p 1alebo k p 2akok p i.Nech C je kruh obsahujúci C 12, C 13, C 23. Tvrdíme, že l ubovol ný bod x ležiacimimo C je bližšie k niektorému z bodov p 1, p 2, p 3ako k p i. Skutocne: Uvažujmeúsecku xp i. Táto pretína niektorú zo strán trojuholníka p 1, p 2, p 3(p ileží vovnútritohoto trojuholníka) - povedzme hranu p 1p 2. Takto xp itiež pretína oblúk A 12v bodeu. Ale u je bližšie k p 1alebo k p 2ako k p i(cvicenie 3.6). Takže dostávame, žel ubovol ný bod x ležiaci mimo C je bližšie k p 1, p 2alebo k p 3ako k p ia teda nemôželežat vo V(i). V(i) je teda ohranicený mnohouholník.Naopak predpokladajme, že V(i) je ohranicený. Nech {e 1,...e k} (k≥3) jemnožina jeho hranicných hrán. Každá hrana e h, h=1,...,k je cast ou osi spojnice p ip′h,p′h∈S. Zrejme p ije vnútorným vrcholom mnohouholníka p 1′ ,..., p′ka ako taký nemôželežat na konvexnom obale množiny S. +Ked že polpriamky môžu byt hranami len neohranicených oblastí, vidíme, žekaždá polpriamka VD zodpovedá dvojici susedných vrcholov konvexného obalumnožiny S. Uvažujme teraz k danému VD duálnu štruktúru - rovinný graf, ktoréhovrcholy sú vrcholy pôvodnej množiny S a vrcholy p i,p jsú spojené hranou právevtedy, ak mnohouholníky V(i), V(j) majú spolocnú hranu - pozri obr.4.6.Obr.3.6: Duálna štruktúra k Voronoiovmu diagramu.Táto duálna štruktúra sa môže na prvý pohl ad zdat dost nezvycajná - ved hranaa jej duálna hrana sa ani nemusia pretínat (napr. na obr.3.6 niektoré hrany spájajúce39