03 Blizkost v rovine a priestore - KSP

Odtial pokracujeme v smere osi bodov 6 a 10. Týmto spôsobom postupujeme, kýmnenarazíme na spodnú koncovú polpriamku cesty σ.Obr. 3.14: Klukatá monotónna cesta.Popíšme uvedený postup formálnejšie. Predstavme si, že v procese zostrojovaniacesty σ máme skonštruovanú hranu e udávajúcu smer d alšieho postupu z jej vyššiehovrchola c. Chceme zostrojit nasledujúcu hranu e’ a jej vyšší vrchol v’, ktorý je zárovennižším vrcholom hrany e. Ak e oddel uje V(i) a V(j) pre p i∈S 1, p j∈S 2, tak v’ je týmpriesecníkom (predlženia) hrany e s hranicou V(i) vo Vor(S 2) resp. s hranicou V(j) voVor(S 2), ktorý je bližšie k v. Takže prezretím hrán hranice V(i) vo Vor(S 1) a V(j) voVor(S 1) vieme urcit vrchol v’ a aj smer d alšieho predlženia cesty s. Nanešt astie smôže viackrát menit smer v danom mnohouholníku V(i), kým pretne jeho hranicu.Opakované prezeranie všetkých hrán hranice V(i) by v takomto prípade mohlo viestaž ku kvadratickej casovej zložitosti. Špeciálna štruktúra VD však umožnuje omnohoefektívnejší spôsob prezerania hraníc jednotlivých mnohouholníkov.Predpokladajme, že σ obsahuje postupnost e 1,...,e kviac ako jednej hrany vovnútri mnohouholníka V(i), kde povedzme p i∈S 1(Obr. 3.14, kde k=3). Predlžmehranu e hz jej vrcholu v hdo polpriamky r ha uvažujme priesecník q htejto polpriamkyr hs hranicou V(i) vo Vor(S 1). Uvažujme podcestu C 1=e 1,...,e ncesty s a tú cast C 2hranice mnohouholníka V(i) vo Vor(S 1), ktorá leží vpravo od s. C 2je cast ou hranice(možno neohraniceného) konvexného polygónu V(i) vo Vor(S 1); C 1je tiež konvexnáa obsiahnutá vo V(i). Takto sú všetky priesecníky q 1,...,q kna C 2usporiadané, co49