03 Blizkost v rovine a priestore - KSP

Obr.3.7: Vo vytienovanej oblasti T(v 1) nie je žiadny bod.3. Napokon ukážeme, že l ubovol ný bod z conv(S) leží v nejakomtrojuholníku T(v).Uvažujme teda bod x∈conv(S) taký , že pre každý Voronoiov vrchol v platíx∉T(v). Potom musí existovat malé okolie g bodu x (kruh so stredom x), ktoréhobody majú rovnakú vlastnost , ako x (nenachádzajú sa v žiadnom z trojuholníkov),pozri obr. 3.8. Nech v je l ubovol ný Voronoiov vrchol a q nech je bod z trojuholníkaT(v). V okolí G bodu x vieme vybrat bod y tak, že priamka l prechádzajúca bodmi q ay neprechádza žiadnym bodom množiny S. Prienikom l s trojuholníkmi z t je množinauzavretých intervalov na l. Nech t najbližším k x koncovým bodom niektorého takéhointervalu a nech t leží na hrane p 1p 2trojuholníka T(v 1) pre nejaký Voronoiov vrcholv 1. Nech p3 je tretím vrcholom trojuholníka T(v 1). Uvažujme kolmicu l 1na hranup 1p 2vychádzajúcu z bodu v 1. Jej urcitá pociatocná cast je hranicnou Voronoiovouhranou medzi V(1) a V(2). Ked že aj x aj p 3sú prvkami conv(S) a ležia na opacnýchstranách úsecky p 1p 2, úsecka p 1p 2nemôže patrit do hranice konvexného obalu S ateda hranicná hrana medzi V(1) a V(2) ležiaca na l 1nie je lúcom (veta 4.10), aleúseckou, ktorej druhým koncovým bodom nech je v 2. Takto T(v 1) a T(v 2) majú dvaspolocné vrcholy (p1 a p2), a teda z casti 2. tohoto dôkazu vyplýva, že v 1a v 2ležia naopacných stranách od hrany p 1p 2. Z toho bod t je vnútorným bodom zjednoteniaT(v 1)∪T(v 2), co je spor s (neodôvodneným) predpokladom, že žiadny bod úseckynepatrí do žiadneho trojuholníka z t. q.e.d.41