03 Blizkost v rovine a priestore - KSP

3.3.1. Zoznam vlastností Voronoiovho diagramuPred konštrukciou Voronoiovho diagramu (Vor(S)), opíšeme jeho dôležitévlastnosti za predpokladu 3.1.Predpoklad 3.1: Žiadne štyri body množiny S neležia na jednej kružnici.Týmto predpokladom sa pri dôkazoch vyhneme zdlhavým detailom, ale zhl adiska platnosti dôležitých výsledkov je sám predpoklad nepodstatný. Každá hranaVD je cast ou osi spojnice nejakej dvojice bodov z S, a preto je spolocná práve dvommnohouholníkom. Odtial dostávame nasledovné tvrdenie.Veta 3.7 Každý Voronoiov vrchol Vor(S) je priesecníkom práve troch hrán tohotodiagramu.Dôkaz: Nech je daný vrchol v priesecníkom k hrán e 1,..e k(k≥2). Nech je tátopostupnost hrán usporiadaná proti smeru chodu hodinových ruciciek. Hrana e inech jespolocná polygónom V(i-1) a V(i) pre i = 2, ... k, e 1nech je spolocná pre V(k) a V(1).Všimnime si, že v je rovnako vzdialený od p i−1aj od p i(leží na e i), pre všetky i. Ztoho je ale zrejmé, že p 1,...p ksú kocirkulárne (ležia na spolocnej kružnici). Zpredpokladu 4.1 takto dostávame, že k≤3. Predpokladajme, že k=2. Potom e 1aj e 2súspolocné pre V(1) a V(2) a ako také sú obe cast ou osi spojnice bodov p 1a p 2, takžesa nemôžu pretínat vo v, cím dostávame spor a teda k=3. q.e.d.Veta 3.7 hovorí, že (za predpokladu 4.1) sú vrcholy Vor(S) stredmi kružnícdefinovaných troma bodmi S a že Vor(S) je regulárny graf stupna 3. Oznacme C(v)spomenutú kružnicu so stredom v.Veta 3.8 Pre každý vrchol v Voronoiovho diagramu množiny S kruh C(v) neobsahuježiadny iný bod z S.Dôkaz: Predpokladajme, že C(v) je urcená bodmi p 1, p 2, p 3. Nech kruh C(v)obsahuje nejaký bod p 4∈S. Potom v je bližšie k p 4ako ku hociktorému z bodov p 1,p 2, p 3a teda z definície Vor(S) musí ležat vo V(4) a nesmie ležat v žiadnom z37