03 Blizkost v rovine a priestore - KSP

3.3.2. Konštrukcia Voronoiovho diagramuPod konštrukciou Vor(S) budeme rozumiet vytvorenie opisu diagramu akorovinného grafu. Tento opis bude obsahuje 1. súradnice Voronoiových vrcholov, 2.množinu Voronoiových hrán (dvojíc Voronoiových vrcholov), pricom ku každejhrane budeme vediet jej nasledovníka (proti smeru chodu hodinových ruciciek) voboch jej vrcholoch (pozri štruktúru DCEL v casti 2.1).Dolná hranica casovej zložitosti konštrukcie Vor(S) Ω(NlogN) vyplýva z viet3.5 a 3.10. Alternatívny dôkaz tejto dolnej hranice predstavuje možnost riešeniaproblému 3.1 a problému 3.2 (oba so zložitost ou Ω(NlogN)) v lineárnom case, akmáme príslušný Voronoiov diagram.Veta 3.11 Konštrukcia Voronoiovho diagramu pre N bodov roviny vyžaduje casaspon Ω(NlogN).Prvým naivným prístupom je postupná konštrukcia Voronoiovýchmnohouholníkov jedného za druhým. Každý z nich je prienikom N-1 polrovím amožno ho zostrojit v case O(NlogN). Tento prístup by teda viedol k celkovému casuO(N 2 logN). Až do roku 1985 sa v praxi používala inkrementálna konštrukcia, ktorúnavrhli Green a Sibson (1977). Algoritmus postupne pridáva body a v case O(N) ichlokalizuje do predchádzajúceho diagramu, pricom pridáva nové hrany a odoberánepotrebné casti alebo celé predchádzajúce hrany. Celková zložitost je všakkvadratická. (Revitalizácia tohto algoritmu nastáva znova v poslednom období vsúvislosti s využitím randomizácie.) V súcasnosti sa bežne používa Fortunehozametací algoritmus, publikovaný v roku 1987, ktorý je tiež optimálny. Kvôlivynikajúcej artikulácii myšlienky však ukážeme najprv historicky prvý dôkaz, žeVor(S) vieme zostrojit v optimálnom case Θ(NlogN) a teda, že konštrukcia celéhodiagramu nie je asymptoticky zložitejšia ako konštrukcia jediného jehomnohouholníka. Základom efektívnej konštrukcie je metóda, ktorú zaviedli Shamos aHoey (1975) v clánku, ktorý podl a [ORou94] uviedol Vor(S) do informatickejkomunity. Podstatou metódy je paradigma divide and conquer. Autori dokázaliasymptotickú optimálnost tohto algoritmu, no jeho implementácia je zložitá a môžespôsobit numerickú nestabilitu, tj. privel ký vplyv zaokrúhl ovacích chýb na výsledok.43