03 Blizkost v rovine a priestore - KSP

Obr.3.8: Každý bod v konvexnom obale patrí do trojuholníka.Z práve dokázanej vety vyplýva dôsledok.Dôsledok 3.1 Voronoiov diagram N prvkovej množiny S má najviac 2N-5 vrcholov a3N-6 hrán.Cvicenie 3.7 Dokážte dôsledok 3.1.Vidíme teda, že pomocou konštrukcie Voronoiovho diagramu vieme priamoriešit problém 3.3 - trianguláciu.Dalej z toho, že Voronoiov diagram je rovinný graf, vyplýva možnost jehoreprezentácie len v lineárnej pamäti, co umožnuje udržiavat informáciu o vzájomnejblízkosti bodov z S vo vel mi kompaktnej forme. Tiež si všimnime, že aj ked danýVoronoiov mnohouholník môže mat až N-1 hrán, celkový pocet hrán je najviac 3N-6a teda (pretože každú hranu obsahujú práve dva mnohouholníky) priemerný pocethrán Voronoiovho mnohouholníka neprevyšuje hodnotu 6.Bez dôkazu ešte uvedieme zaujímavú vlastnost , ktorú uvádza [ORou94]. Akexistuje kružnica, prechádzajúca práve dvoma bodmi p ia p j, ktorej vnútro (kruh)neobsahuje žiadny iný bod S, tak úsecka p ip jje hranou Delaunayovej triangulácie (aV(p i), V(p j) majú spolocnú hranu).V d alšom využijeme doteraz odvodené vlastnosti Vor(S) na návrh rýchlehoalgoritmu na jeho konštrukciu.42