Elektronika 2012-08 I.pdf - Instytut Systemów Elektronicznych

Jak wspomniano, oprócz mikrokonwerterów bazujących nardzeniu 8052, firma Analog Devices oferuje mikrokonwerterybazujące na rdzeniu ARM7 o częstotliwości taktowania 40 MHz,jednak maksymalna rozdzielczość zastosowanych tam przetwornikówA/C jest ograniczona do 12 bitów.Warto dodać, że ceny zaprezentowanych mikrokonwerterówsą rzędu 10 USD, co przy ich bogatych możliwościach pomiarui przetwarzania sygnałów pozwala na ich bazie budować urządzeniawysokiej klasy przy niewielkiej cenie.Standardowe obliczenia wartości modułuharmonicznej sygnałuOprogramowanie mikrokonwertera pozwala na analizę harmonicznąmierzonego sygnału poprzez zastosowanie szybkiejtransformaty Fouriera FFT. Analiza harmoniczna dostarczawyniki w postaci składowych rzeczywistej i urojonej a+jb. Jakwspomniano na wstępie, w przypadku ograniczonej przepustowościkanałów transmisyjnych urządzenia może okazać sięwskazane ograniczenie przesyłania informacji jedynie w formiemodułów składowych harmonicznych [2]. To z kolei wymaga obliczeniatych modułów na podstawie wartości składowych liczbzespolonych.Moduł m liczby zespolonej a+jb jest pierwiastkiem sumy kwadratówskładowych rzeczywistej i urojonej:22 m =a+b(1)W obliczeniach numerycznych dla obliczenia pierwiastka liczbyc, gdzie:22 c =a+b(2)stosuje się z reguły algorytm Newtona-Raphsona [3]. Zgodniez tym algorytmem obliczenie pierwiastka m liczby c jest wykonywaneiteracyjnie, zaś kolejne przybliżenie jego wartości m i+1możnaopisać równaniem:1⎛c (3)⎟ ⎞m ⎜i+1=mi+2 ⎝ mi⎠Wynik obliczeń według algorytm (3) jest zbieżny kwadratowo,a więc stosunkowo szybko prowadzi do uzyskania wyniku, co ilustrujetabela 1. Wyniki w tab.1 odpowiadają obliczeniom z punktamistartowymi, które można bardzo szybko określić. W tymcelu zakres zmienności pierwiastkowanej liczby c podzielonona podzakresy, których granice wyznaczają wartości 2 2k , gdziek jest liczbą całkowitą, zaś jako punkty startowe m 0iteracyjnegoobliczania pierwiastków przyjęto wartości pierwiastków tych liczbwynoszące 2 k .Tab. 1. Iteracyjne obliczanie pierwiastka według algorytmu algorytm Newtona-RaphsonaTabl.1. Iterative root extraction by Newton-Raphson methodLiczbaPierwiastekkwadratowyLiczbaPierwiastekkwadratowy1020,8 31,9499609 0,00368 0,06066300Dla potrzeb metrologii na ogół wystarcza, aby względny błądobliczeń amplitudy sygnału był mniejszy od 10 -5 (czyli 0,001%),a więc dla uzyskania prawidłowego wyniku pierwiastkowania tąmetodą wystarcza kilka iteracji. Przeprowadzenie pierwiastkowaniawymaga jednak krotności czasu obliczeń pojedynczej iteracji,a ponadto należy zwrócić uwagę, że w równaniu (3) występujedzielenie. Z pominięciem wyjątków jest to operacja kilkukrotniedłuższa od mnożenia, co ma istotny wpływ na całkowity czas obliczaniapierwiastka. Warto też dodać, że ze względu na szybkązbieżność, standardowy algorytm obliczeń pierwiastka częstostartuje od dowolnej liczby, co dodatkowo może wydłużyć obliczeniao kilka iteracji.Nowy algorytm obliczania wartości modułuzmiennej zespolonejW przypadku przetwarzania sygnału w analizatorze zawartościCO 2i SO 2w popiołach [2] zastosowano mikrokonwerter ADuC845.Spełnia on wiele funkcji sterowania, pomiaru i przetwarzania sygnałów,między innymi obliczania pierwszej harmonicznej mierzonegosygnału z zastosowaniem algorytmu FFT. Przy uwzględnieniuczasu potrzebnego do wykonania wszystkich tych funkcji czasobliczeń modułu pierwszej harmonicznej przed przesłaniem tejwartości do komputera nadrzędnego za pośrednictwem interfejsuRS-232 okazał się istotnie za długi. Dlatego, aby ominąć to ograniczenie,opracowano specjalny algorytm szybkiego obliczaniamodułu liczby zespolonej.Obliczanie według tego algorytmu wykorzystuje normalizowaniewzględem większego ze składników liczby zespolonej (rys. 2).Dla z = a + jb, gdy |a|>|b|, to oblicza się wstępnie iloraz:b x =(4)azaś w przeciwnym przypadku, gdy |a|